Джордан Элленберг - Как не ошибаться. Сила математического мышления

Что на латыни означает: «Дважды сваренная капуста – смерть».

Сочинения Шекспира богаты всевозможными эффектами, но при этом поэт всегда знал меру: он ни за что не положил бы столько переваренной капусты, чтобы ее запах мог дойти до Скиннера, снимающего с его сонетов свою грубую пробу.

Статистическое исследование, глубина которого не позволяет зафиксировать феномен ожидаемого размера, называется недостаточно мощным исследованием. Такое исследование равносильно тому, чтобы смотреть на планеты через бинокль. Есть у планеты спутники или нет – вы получите один и тот же результат, а значит, можно было и не утруждать себя, пытаясь с помощью бинокля сделать то, что должен делать телескоп. Проблема низкой мощности исследования – это обратная сторона ситуации, сложившейся в Великобритании из-за предупреждения по поводу противозачаточных средств. С одной стороны, мощное исследование (такое как клинические испытания контрацептивов нового поколения) может повлечь за собой чрезмерное беспокойство по поводу незначительного воздействия, которое на самом деле не представляет особой важности. С другой стороны, недостаточно мощное исследование способно привести к тому, что по ошибке будет отброшено небольшое воздействие, для обнаружения которого данный метод оказался слишком слабым.

Возьмем в качестве примера Спайка Альбрехта. Никто не ожидал, что этот новичок из мужской баскетбольной команды Мичиганского университета с ростом всего 1 метр 80 сантиметров, который провел б о льшую часть сезона на скамейке запасных, сыграет важную роль в финальном матче NCAA [118]между командами «Мичиган Вулверинс» и «Луисвилл Кардиналс» [119], состоявшемся в 2013 году. Тем не менее Альбрехт сделал пять прямых бросков (четыре из которых оказались результативными трехочковыми бросками) всего за десять минут первой половины матча, что дало команде Мичиганского университета преимущество в десять очков перед «Кардиналами», которые считались явными фаворитами. Создавалось впечатление, что у Альбрехта есть то, что любители баскетбола называют «счастливой рукой», – неспособность промахнуться, с какого бы расстояния ни был сделан бросок или какой бы жесткой ни была защита соперника.

Вот только существует ли таинственная «счастливая рука»? В одной из самых знаменитых современных работ по когнитивной психологии (1985) Томас Гилович, Роберт Валлон и Амос Тверски сделали с любителями баскетбола то же, что сделал Скиннер с поклонниками великого барда {108}. Они собрали материал обо всех бросках, сделанных игроками команды «Филадельфия Севенти Сиксерс» [120]во время сорока восьми домашних матчей сезона 1980/81 года, и провели статистический анализ этих данных. Если у игроков есть предрасположенность либо к серии результативных бросков, либо к серии промахов, следует ожидать, что тот или иной игрок с большей вероятностью сделает результативный бросок после попадания, чем после промаха. Когда Гилович, Валлон и Тверски провели опрос среди поклонников НБА, то обнаружили, что эта теория получила широкую поддержку: девять из десяти респондентов согласились с тем, что игрок с большей вероятностью забросит мяч в корзину, если накануне он сделал два или три результативных броска подряд.

Однако ничего подобного в команде «Филадельфии» не происходило. У Джулиуса Ирвинга (великого Доктора Джея) общий показатель реализации бросков в одной игре составил 52 %. После трех прямых попаданий в корзину (что могло бы показаться вам признаком «счастливой руки») его показатель реализации бросков снизился до 48 %. Напротив, после трех промахов подряд процент реализации бросков Ирвинга не снизился, а остался на уровне 52 %. У других игроков этот эффект носил еще более выраженный характер, например у Шоколадного Грома – Дэррила Доукинса. После попадания его общий показатель реализации бросков, составлявший 62 %, снизился до 57 %, а после промаха повысился до 73 %, что было прямо противоположно прогнозам любителей баскетбола. (Вот одно из возможных объяснений: промах означает, что Доукинс столкнулся с эффективными действиями защитников по периметру площадки, это заставило его осуществить быструю атаку и сделать один из тех фирменных слэм-данков [121]с разбиванием щита вдребезги, которым он сам давал такие названия, как «плевок тебе в лицо» или «турбосексофонный восторг».)

Означает ли это, что явления «счастливой руки» не существует? Пока еще нет. Ведь по большому счету «счастливая рука» не являет собой общую закономерность, при которой попадание следует за попаданием, а промах – за промахом. Это мимолетное явление, когда на площадке мячом владеет высшее баскетбольное существо, обитающее в теле игрока на протяжении короткого блистательного мига, – которое приходит и уходит без предупреждения. Спайк Альбрехт на десять минут превращается в Рэя Аллена, безжалостно реализует серию трехочковых бросков, а затем снова становится Спайком Альбрехтом. Может ли статистический тест обнаружить это? Теоретически почему бы и нет? Гилович, Валлон и Тверски изобрели хитрый способ выявления подобных интервалов – мигов неудержимой решимости. Они разбили результаты каждого игрока за сезон на непересекающиеся последовательности по четыре броска в каждой. Предположим, общая цепочка попаданий (H – hit) и промахов (M – miss) Доктора Джея выглядела так: