Джордан Элленберг - Как не ошибаться. Сила математического мышления

На первый взгляд ограниченный промежуток между простыми числами может показаться чем-то удивительным. Если простые числа становятся все более отдаленными друг от друга, почему существует так много пар простых чисел, расположенных близко друг от друга? Может существует некая сила притяжения между простыми числами?

Ничего подобного. Если распределить простые числа в случайном порядке, велика вероятность, что некоторые пары чисел по воле случая окажутся рядом друг с другом – подобно тому, как точки, рассредоточенные на плоскости, образуют видимые скопления.

Нетрудно подсчитать, что, если простые числа вели бы себя подобно случайным числам, мы увидели бы именно такое поведение, какое продемонстрировал Чжан. Более того, можно было бы ожидать, что существует бесконечно большое количество пар простых чисел, отличающихся на 2, например таких пар, как 3 и 5 и 11 и 13. Это так называемые простые числа-близнецы, бесконечность количества которых остается гипотезой.

(Ниже приведены некоторые расчеты. Если они не представляют для вас интереса, можете пропустить их и перейти к абзацу, который начинается словами: Большое количество простых чисел-близнецов… )

Помните: теорема о распределении простых чисел гласит, что из первых N чисел N /log N чисел являются простыми. Если бы эти числа были распределены случайным образом, каждое число n могло бы быть простым с вероятностью 1/log N . Таким образом, вероятность того, что числа n и n + 2 оба являются простыми, равна (1/log N ) × (1/log N ) = (1/log N )². Так какого же количества пар простых чисел, отличающихся на 2, мы можем ожидать? В интересующей нас области существует N пар чисел ( n, n + 2), причем каждое из них имеет вероятность быть простым числом-близнецом, равную (1/log N )², а значит, в данном интервале можно ожидать N /(log N )² простых чисел-близнецов.

Существуют некоторые отклонения от чистой случайности, с небольшим воздействием которых специалисты по теории чисел умеют обращаться. Главное то, что события « n – простое число» и « n + 2 [132] – простое число» не являются независимыми: если n – простое число, это увеличивает вероятность того, что n + 2 – также простое число, а это означает, что мы не совсем правильно используем произведение (1/log N ) × (1/log N ). (Обратите внимание: если n – простое число, большее 2, оно нечетное, а это значит, что n + 2 также является нечетным, что повышает вероятность того, что n + 2 – простое число.) Годфри Гарольд Харди, который говорил о «ненужных затруднениях», а также Джон Инденсор Литлвуд, в соавторстве с которым он написал б о льшую часть своих работ, разработали более точный метод прогнозирования с учетом этой зависимости, согласно которому количество простых чисел-близнецов в действительности должно быть на 32 % больше, чем N /(log N )². Такая более точная аппроксимация позволяет предсказать, что количество простых чисел-близнецов, не превышающих квадриллион, должно составлять около 1,1 триллиона – достаточно близкое совпадение с реальной цифрой 1 177 209 242 304. Это много простых чисел-близнецов.

Большое количество простых чисел-близнецов – это и есть то, что ожидают обнаружить специалисты по теории чисел, какими большими ни были бы эти числа, причем не потому, что мы считаем, будто в простых числах скрыта некая глубинная сверхъестественная структура, а именно потому, что мы так не считаем . Мы исходим из того, что простые числа распределены совершенно случайным образом. Если гипотеза о распределении простых чисел была бы ошибочной, именно это было бы настоящим чудом, подразумевающим, что некая до сих пор неведомая сила отталкивает простые числа друг от друга.

Не хотелось бы слишком углубляться в эту тему, но именно так действуют многие знаменитые гипотезы в теории чисел. Гипотеза Гольдбаха, говорящая, что любое четное число больше 2 можно представить в вид суммы двух простых чисел – это еще одна гипотеза, которая была бы истинной только в случае, если простые числа вели бы себя как случайные величины. То же самое можно сказать по поводу гипотезы Бена Грина и Терри Тао, что последовательность простых чисел содержит арифметические прогрессии произвольной длины (за доказательство этой гипотезы в 2004 году Тао получил Филдсовскую премию).

Самой известной стала гипотеза, которую выдвинул в 1637 году Пьер Ферма. Она гласит, что уравнение