Джордан Элленберг - Как не ошибаться. Сила математического мышления

Нетрудно убедиться, что аналогичная аргументация, только поставленная с ног на голову, доказывает истинность каждого утверждения.

Может показаться странным, но с точки зрения логической дедукции это неопровержимо; прибавьте крошечное противоречие в любой фрагмент формальной системы – и вся система рухнет. Философы, связанные с математикой, называют такую уязвимость формальной логики ex falso quodlibet [336], или, исключительно в своем кругу, принципом взрыва. (Помните, как я вам рассказывал, что многие математики любят использовать агрессивную терминологию?)

Принцип ex falso quodlibet – это именно то, что использовал капитан Джеймс Т. Кирк [337], чтобы вывести из строя андроидов-диктаторов. «Поставьте их в парадоксальную ситуацию – и их модули построения логического вывода дают сбой и выходят из строя», – говорит Кирк. «Но это нелогично», – печально отвечают андроиды, прежде чем отключаются их сигнальные лампочки {303}.

Однако хитрость Кирка не работает с людьми. Мы рассуждаем иначе, даже те из нас, кто зарабатывает математикой на жизнь. Мы терпимы к противоречиям – до определенной степени. Фрэнсис Скотт Фицджеральд сказал: «…Подлинная культура духа проверяется способностью одновременно удерживать в сознании две прямо противоположные идеи и при этом не терять другой способности – действовать» [338] {304}.

Математики используют эту способность как основной инструмент мышления. Это важно в случае доказательства от противного, когда необходимо удерживать в уме предположение, которое вы считаете ложным, и рассуждать так, будто оно истинное: допустим, квадратный корень из 2 есть рациональное число, хотя я пытаюсь доказать, что это не так… Всего лишь своего рода систематические осознанные сновидения. И мы можем так делать, не устраивая себе короткого замыкания.

На самом деле существует весьма распространенный совет (я знаю, что слышал его от своего руководителя докторской диссертации, а он от своего и так далее): когда вы упорно пытаетесь доказать теорему, вам следует доказывать ее днем и опровергать ночью. (Периодичность такого переключения не играет роли; говорят, что тополог Руперт Генри Бинг делил каждый месяц на две части: две недели он пытался доказать гипотезу Пуанкаре, а следующие две недели пытался найти контрпример [339] {305}.)

Зачем работать, ставя перед собой противоположные цели? Существует две веские причины. Прежде всего, вы все-таки можете оказаться неправы; если утверждение, которое вы считаете истинным, на самом деле ложное, все ваши усилия доказать его истинность окажутся тщетными. Опровержение по ночам – это своего рода страховка против огромных потерь.

Но существует и более глубокая причина. Если утверждение истинно и вы пытаетесь опровергнуть его, это вам не удастся. Нас приучили считать, будто неудача – это плохо, но на самом деле так бывает не всегда. Вы пытаетесь опровергнуть утверждение одним способом – и упираетесь в стену. Вы пытаетесь сделать это другим способом – и упираетесь еще в одну стену. При каждой попытке опровержения вы упираетесь в очередную стену, и, если вам повезет, эти стены начнут выстраиваться в определенную структуру, которая и предстанет как доказательство теоремы. Ведь если вы действительно поняли, что мешает вам опровергнуть теорему, велика вероятность, что благодаря способу, недоступному для вас прежде, вы поймете, почему теорема истинна. Именно это произошло с Бойяи, который проигнорировал совет отца и попытался, подобно многим математикам до него, доказать, что постулат о параллельности вытекает из других аксиом Евклида. Как и остальные, Бойяи потерпел неудачу. Но в отличие от остальных он смог понять очертания своей неудачи. То, что блокировало все его попытки доказать, будто не существует геометрии без постулата о параллельности, это и было существование той самой геометрии! С каждой очередной неудачной попыткой Бойяи узнавал все больше о свойствах того, что он считал несуществующим, все глубже постигал суть происходящего, пока наконец не понял, что это такое.

Принцип «доказывать днем и опровергать ночью» применим не только к математике. На мой взгляд, держать под напряжением все свои убеждения, социальные, политические, научные и философские, – это хорошая привычка. Верьте в то, во что вы верите, днем, но по ночам ищите доводы против самых ценных для вас предположений. Не обманывайте себя! Насколько это возможно, размышляйте так, будто вы верите в то, во что не верите. А если вам не удастся разубедить себя в существующих убеждениях, вы узнаете намного больше о том, почему вы верите в то, во что верите. Вы немного приблизитесь к доказательству.