Джордан Элленберг - Как не ошибаться. Сила математического мышления

Однако Гильберта ждало разочарование. В 1931 году Курт Гёдель доказал свою знаменитую вторую теорему о неполноте, которая гласила, что не существует финитного доказательства непротиворечивости арифметики. Он погубил программу Гильберта одним ударом.

Так следует ли вам беспокоиться по поводу того, что завтра после обеда может наступить коллапс всей математики? Как бы там ни было, меня это не беспокоит. Я действительно верю в бесконечные множества и считаю доказательства непротиворечивости, в которых используются бесконечные множества, достаточно убедительными, чтобы спокойно спать по ночам.

Большинство математиков считают так же, как и я, но есть и те, кто придерживается другого мнения. В 2011 году логик из Принстонского университета Эдвард Нельсон представил доказательство непротиворечивости арифметики. (К счастью для нас, через несколько дней Терри Тао обнаружил в этом доказательстве ошибку {281}.) Владимир Воеводский, лауреат Филдсовской премии, который работает сейчас в Институте перспективных исследований в Принстоне, произвел в 2010 году сенсацию, заявив, что не видит никаких оснований для того, чтобы считать арифметику непротиворечивой. Вместе с большой группой коллег со всего мира Воеводский предложил новое обоснование математики. Гильберт начинал с геометрии, но быстро пришел к пониманию того, что непротиворечивость арифметики – это более фундаментальная проблема. Напротив, группа Воеводского утверждает, что по большому счету именно геометрия имеет фундаментальное значение – не такая геометрия, которая была бы привычной для Евклида, а современная геометрия, называемая «теория гомотопий». Смогут ли эти основы устоять перед скептицизмом и противоречиями? Спросите меня об этом через двадцать лет. Такие вещи требуют времени.

Модель математики Гильберта уцелела после кончины его формалистской программы. Еще до публикации работы Гёделя Гильберт ясно дал понять, что в его намерения не входит создание математики сугубо формалистским способом. Это было бы слишком трудно! Даже если геометрию можно представить в виде осуществления манипуляций с бессмысленными последовательностями символов, ни один человек не в состоянии генерировать геометрические идеи, не рисуя при этом картинки, не представляя себе фигуры и не размышляя о геометрических объектах как о реальных вещах . Как правило, мои друзья философы считают эту точку зрения, обычно называемую платонизмом, довольно сомнительной: разве может быть реальным пятнадцатимерный гиперкуб? Я могу сказать только то, что для меня такие вещи так же реальны, как, например, горы. В конце концов, я могу определить пятнадцатимерный гиперкуб. А можете ли вы определить гору?

Однако все мы отпрыски Гильберта; когда по выходным мы пьем пиво вместе с философами и философы начинают атаковать нас вопросами по поводу статуса объектов, которые мы изучаем [317], мы возражаем им, укрываясь в своей формалистской цитадели: безусловно, мы прибегаем к геометрической интуиции, для того чтобы понять, что происходит, однако наш окончательный вывод по поводу истинности того, о чем мы говорим, опирается на формальное доказательство, лежащее в основе происходящего. Согласно известной формулировке Филипа Дэвиса и Рубена Херша, «типичный практикующий математик – платонист по будним дням и формалист по воскресеньям» {282}.

Гильберт не стремился разрушить платонизм; он хотел сделать мир безопасным для платонизма, водрузив такие объекты, как геометрия, на столь незыблемую основу, что мы могли бы чувствовать себя на протяжении недели такими же морально сильными, как и в воскресенье.

Я много говорил о роли Гильберта, и это правильно, однако существует опасность, что, уделяя так много внимания именам ведущих математиков, я способствую созданию ошибочного представления о математике как об области, в которой немногочисленные одинокие гении, отмеченные печатью еще в момент рождения, прокладывают остальному человечеству путь, по которому оно сможет двигаться дальше. Легко рассказывать историю, придерживаясь такого подхода. В некоторых случаях, как в случае со Шринивасой Рамануджаном, это не так уж далеко от истины. Рамануджан был одаренным ребенком из южных районов Индии, с самого детства генерировавшим удивительно оригинальные математические идеи, которые он сам называл божественными откровениями богини Намагири {283}. На протяжении многих лет он работал в полной изоляции от остального математического мира, имея доступ только к нескольким книгам, которые могли познакомить его с современным состоянием этой дисциплины. К 1913 году, когда Рамануджан наконец установил контакт с большим миром теории чисел, он уже исписал много тетрадей примерно четырьмя тысячами теорем, многие из которых до сих пор являются предметом активных исследований. (Богиня открывала Рамануджану формулировки теорем, но не давала никаких доказательств – их предстоит искать нам, преемникам Рамануджана).