Джордан Элленберг - Как не ошибаться. Сила математического мышления

Байесовский подход и подход Сэвиджа дают ошибочные прогнозы и, по их мнению, плохие советы. Они сознательно, без всяких оправданий предпринимают действия, противоречащие этим аксиомам, поскольку такое поведение кажется им разумным. Неужели они ошибаются?

В Вашингтоне и корпорации RAND периода холодной войны теория принятия решений и теория игр считались высшей интеллектуальной ценностью и рассматривались в качестве научных инструментов, которые помогут выиграть следующую мировую войну, подобно тому как атомная бомба выиграла последнюю. Тот факт, что на самом деле эти инструменты могут иметь ограниченную область применения, особенно в ситуациях, у которых еще не было прецедентов, а значит, нет способа оценить вероятность (скажем, как в случае мгновенного превращения человечества в радиоактивную пыль ), должен был вызывать определенное беспокойство у Эллсберга. Может быть, именно с этого, помимо разногласий насчет математики, начались его сомнения в военной системе?

Понятие полезности помогает объяснить одно загадочное явление, связанное с лотереей Cash WinFall. С одной стороны, когда игроки группы Джеральда Селби покупали большое количество лотерейных билетов, они использовали функцию Quic Pic, позволяя компьютерам лотереи выбирать числа в случайном порядке. С другой стороны, игроки группы Random Strategies выбирали числа сами. Это означало, что они должны были заполнять десятки тысяч карточек вручную, а затем по одному вставлять их в автомат в выбранном магазине – трудоемкое и невероятно скучное занятие.

Выигрышные номера выпадают совершенно случайно, а значит, все лотерейные билеты имеют одинаковую ожидаемую ценность: 100 тысяч билетов Селби, выбранных с помощью компьютеров, обеспечили бы такое же количество призовых денег, что и 100 тысяч билетов Харви и Лу, заполненных вручную. Согласно ожидаемой ценности, игроки Random Strategies выполняли большой объем трудной работы без какого бы то ни было вознаграждения. Зачем?

Рассмотрим следующий пример – более простой, но аналогичный по своей сути. Вы предпочли бы взять 50 тысяч долларов, или заключить пари 50 на 50 между потерей 100 тысяч долларов и получением 200 тысяч долларов? Ожидаемая ценность этого пари составляет:

(1/2) × (−100 000 долларов) + (1/2) × (200 000 долларов) = 50 000 долларов,

то есть столько же, сколько и наличных денег. На самом деле действительно есть основания, чтобы нейтрально относиться к обоим вариантам: если вы многократно заключали бы такие пари, то почти наверняка в половине случаев получали бы 200 тысяч долларов, а в другой половине – 100 тысяч долларов. Представьте себе, что выигрыши и проигрыши чередуются: после двух пари вы выиграли 200 тысяч долларов и проиграли 100 тысяч долларов, получив в итоге 100 тысяч долларов; после четырех пари эта сумма составила бы 200 тысяч долларов, после шести – 300 тысяч долларов и так далее. В среднем ваша прибыль составила бы 50 тысяч долларов на одно пари, как и в случае, если вы с самого начала выбрали бы безопасный путь.

Теперь советую вспомнить, что вы не персонаж задачи из учебника по экономике, но живой человек – человек, у которого нет на руках 100 тысяч долларов. Когда вы проиграете свою первую ставку, к вам обязательно заглянет букмекер (этакий огромный, злой, наголо бритый парень с накачанными мышцами) и потребует вернуть долг. А вы ему в ответ: «Вычисление ожидаемой ценности показывает, что я, по всей вероятности, смогу выплатить вам долг в долгосрочном периоде». Вы допускаете, что в силах произнести такое? Конечно, нет. Ваш математически убедительный аргумент не достигнет своей цели.

Следовательно, если вы обычный живой человек, вам следует взять 50 тысяч долларов.

Такие рассуждения хорошо объясняет теория полезности. Если я – корпорация с неограниченными финансовыми средствами, то потеря 100 тысяч долларов может выглядеть не слишком страшным событием, оно обойдется мне, скажем, в 100 ютилей, тогда как выигрыш 200 тысяч долларов принесет 200 ютилей. В таком случае зависимость между долларами и ютилями может носить линейный характер, и тогда ютиль – всего лишь другое название тысячи долларов.

Но если я – обычный живой человек со скромными сбережениями, то вычисления будут совсем другими. Выигрыш 200 тысяч долларов изменит мою жизнь в гораздо большей степени, чем жизнь корпорации, а значит, это событие может иметь для меня более высокую ценность – скажем, 400 ютилей. А вот проигрыш 100 тысяч долларов не просто опустошит мой банковский счет: мне придется выплачивать долг сердитому бритому качку. Речь уже не идет о просто плохом показателе в балансовой ведомости. Мы рискуем получить серьезные физические увечья, и этот риск мы можем оценить в 1000 ютилей. В таком случае ожидаемая полезность этого пари составляет: