Андрей Райгородский - Кому нужна математика? Понятная книга о том, как устроен цифровой мир

Если участник i товар не получает, он не приобретает никакой ценности и ничего не платит, то есть его прибыль равна нулю.

Дальше доказательство ведется так же, как в разделе «Результат Викри»в главе 8, и в качестве иллюстрации мы можем по-прежнему использовать рис. 8.2и рис. 8.3. Допустим, что ставки всех участников, кроме i , фиксированы. Мы покажем, что при правдивой ставке b i = v i прибыль участника i та же или больше, чем при повышенной ставке b i > v i или пониженной b i < v i . Подчеркнем, что это утверждение верно при любых (фиксированных) ставках других участников.

Предположим, что b i > v i . Рассмотрим три случая относительно ставок b j, j ≠ i .

1. Допустим, что b i – самая высокая ставка и, кроме того, все остальные участники поставили меньше, чем v i ( рис. 8.2вверху). Тогда товар по-прежнему достается участнику i по стоимости max j ≠ ib j , и участник i получает точно такую же прибыль (П.16), что и при правдивой ставке v i .

2. Теперь предположим, что другой участник k сделал ставку b k > b i (см. рис. 8.2в середине). Тогда участник i товар не получает, его прибыль равна нулю. Но поскольку b i > v i , то и при честной ставке v i участник i тоже не получил бы товар. Значит, в этом случае прибыль участника i при честной ставке тоже равна нулю.

3. Наконец, допустим, что b i – самая высокая ставка и v i < max j ≠ ib j < b i (см. рис. 8.2внизу). Так как v i < b i , такая ситуация возможна. Она возникает, когда самая высокая ставка других участников выше v i , но ниже b i . Если бы i поставил v i , то i не получил бы товар, прибыль была бы равна нулю. Но теперь b i – самая высокая ставка, поэтому товар достается i. Прибыль i по-прежнему вычисляется по формуле (П.16), но только прибыль становится отрицательной, поскольку ценность товара меньше его стоимости. Значит, в этом случае прибыль i меньше, чем при честной ставке.

Во всех трех случаях 1–3 участник i не получил прибыль выше, чем при честной ставке v i .

Теперь предположим, что b i < v i , то есть ставка занижает реальную ценность. Опять рассмотрим три случая относительно ставок других участников b j, j ≠ i .

1ʹ. Допустим, b i – самая высокая ставка ( рис. 8.3вверху). Тогда товар по-прежнему достается участнику i по стоимости max j ≠ ib j . В этом случае прибыль участника i та же, что и прежде (П.16). Она в точности такая же, как и при честной ставке v i .

2ʹ. Теперь предположим, что другой участник l сделал ставку b l > v i (рис. 8.3 в середине). В этом случае при честной ставке v i участник i товар не получает.

Но тогда и при заниженной ставке b i < v i участник i не получит товар. Значит, прибыль i равна нулю и при честной, и при заниженной ставке.

3ʹ. Наконец, допустим, что b i < max j ≠ ib j < v i ( рис. 8.3внизу). Так как b i < v i такая ситуация возможна. Она возникает, когда самая высокая ставка других участников выше b i , но ниже v i . Тогда при честной ставке товар достался бы участнику i , и его прибыль, по формуле (П.16), была бы положительной. Но поскольку b i теперь не самая высокая ставка, товар достанется другому участнику и прибыль участника i равна нулю. Значит, в этом случае прибыль i меньше, чем при честной ставке.

Во всех трех случаях 1ʹ–3ʹ участник i не получил более высокую прибыль, чем при честной ставке v i .

В результате делаем вывод, что и при заниженной, и при завышенной ставке участник i получает не больше, чем при честной ставке b i = v i . Таким образом, мы доказали, что в аукционе второй цены выгоднее всего делать честную ставку.

Назад к Главе 8

Мы благодарим издательство «Манн, Иванов и Фербер» и его директора Артема Степанова за возможность опубликовать эту рукопись. Большое спасибо Ренату Шагабутдинову за быструю и позитивную обратную связь. Мы хотим выразить признательность ответственному редактору Наталье Шульпиной за помощь в подготовке книги к изданию. Благодаря высокому профессионализму Натальи наша совместная работа была творческой и приятной. Мы также благодарим всех сотрудников издательства, которые участвовали в создании книги.