Владимир Савельев: Статистика и котики

К большому сожалению, дисперсионный анализ является параметрическим методом, а следовательно, не очень любит выбросы и ненормальные распределения данных. Если у вас такая ситуация, то рекомендуется воспользоваться его непараметрическим кузеном — H-критерием Краскела-Уоллеса . Последний очень похож на критерий Манна-Уитни, который мы рассматривали в одном из предыдущих разделов.

Мы точно так же объединяем всех животных в одну группу, упорядочиваем их от самого большого до самого маленького и присваиваем им ранги.

Затем они снова делятся на группы, ранги внутри групп складываются, и их суммы сравниваются между собой. Логика здесь такая: чем сильнее различаются суммы рангов, тем больше вероятность отвергнуть нулевую гипотезу. И коэффициент Краскела-Уоллеса как раз и отражает различия в этих суммах.

В заключение напомним, что после вычисления любого из этих критериев необходимо найти соответствующий им p-уровень значимости. Именно он и покажет, существует ли связь между размерами и биологическим видом.

НЕМАЛОВАЖНО ЗНАТЬ!

Проблема множественных сравнений

К большому сожалению, если мы получили значимые результаты по дисперсионному анализу, мы не сможем по ним сказать, кто от кого отличается по размеру: слоники от котиков или песики от слоников. Мало того — мы не можем просто взять и сравнить их попарно с помощью t-критерия Стьюдента. Истоки этого — в основах теории вероятности, и мы не будем на них подробно останавливаться. Просто отметим, что с каждым таким сравнением вы серьезно увеличиваете свои шансы ошибиться в выводах. Эта неприятная вещь называется проблемой множественных сравнений .

Поэтому такие сравнения необходимо проводить с помощью других, так называемых апостериорных критериев (или критериев post hoc ).

Простейший из них называется t-критерием Стьюдента споправкой Бонферрони . Вычисляется он как самый обычный t Стьюдента. Поправка же касается критического значения, с которым мы сравниваем p-уровень значимости (0,05). Это значение нужно поделить на количество попарных сравнений.

Если вы сравниваете три вида животных, то таких сравнений тоже будет три (котики с песиками, песики со слониками и слоники с котиками). А вот если их четыре, то количество сравнений увеличивается до шести. И тогда критическое значение будет равно 0,05 / 6.

Применив поправку Бонферрони, посмотрите на ваш p-уровень значимости. Если он ниже получившегося значения, то песики и котики различаются, если же нет, то нет.

Помимо t-критерия Стьюдента с поправкой Бонферрони существует еще, по крайней мере, 17 апостериорных критериев, которые применяются в различных ситуациях. В первом приближении мы можем разбить их на две группы. В первую входят те критерии, которые применяются, если дисперсии котиков, песиков и слоников не отличаются друг от друга, а вот вторая группа содержит критерии для случая неравных дисперсий. Самые популярные из них представлены ниже.

Из предыдущей главы мы узнали, как определить взаимосвязь между биологическим видом животного и его размером с помощью дисперсионного анализа. Однако, помимо вида, на размер могут повлиять и другие факторы, например, питание.

При этом на котиков, песиков и слоников оно может влиять по-разному. Так, мясная диета будет очень нравиться котикам и песикам, в то время как слоники от нее загрустят и будут голодать.

Чтобы разобраться во всех этих влияниях, статистики пользуются многофакторным дисперсионным анализом . Простейший из них — двухфакторный — разбивает дисперсию на четыре части. Первая отвечает за влияние вида на размер, вторая — за влияние диеты, третья — за взаимодействие этих факторов, а последняя определяется всякими левыми причинами.

Проверяем мы аж три нулевые гипотезы.

1. Биологический вид не связан с размером.

2. Диета не связана с размером.

3. Диета действует на всех животных одинаково.

Соответственно, для каждой из них считается свой критерий Фишера. И — как и в однофакторном дисперсионном анализе — чем его значение больше, тем больше влияние того или иного фактора.

Для интерпретации результатов двухфакторного дисперсионного анализа легче всего воспользоваться вот такими графиками. Они отражают и средние значения, и дисперсию, и влияние каждого фактора, и их взаимодействие.