Владимир Савельев: Статистика и котики

НЕМАЛОВАЖНО ЗНАТЬ!

Альтернативные подходы

Определение различий по p-уровню значимости в последнее время подвергается жесткой критике. Поэтому немаловажно знать о том, что существуют и альтернативные подходы, которые используются при определении значимости полученных результатов.

Доверительные интервалы. Как уже было сказано ранее, ученые чаще всего проводят свои исследования не на всех котиках, а на какой-то выборке. Соответственно, они не знают истинного среднего размера по всем котикам. Однако они могут прикинуть, в каком диапазоне он находится. Такой диапазон называется доверительным интервалом .

Рядом с доверительным интервалом всегда указывается вероятность. 95%-ый доверительный интервал означает, что мы с точностью в 95% можем утверждать, что истинный средний размер котиков находится в этом диапазоне.

Чем шире такой интервал, тем менее точной считается статистическая оценка. Что касается различий между песиками и котиками, то они имеют место быть, когда их доверительные интервалы не пересекаются.

Байесовская статистика.Все вышеприведенные способы определения значимости не учитывают наши предыдущие (априорные) знания о том, каких размеров бывают котики и песики. Каждый раз, когда мы определяем p-уровень значимости или доверительный интервал, мы ведем себя так, как будто никогда не видели ни тех, ни других.

Но ведь это не так! Мы ведь достаточно четко представляем себе, как они выглядят! Нельзя просто так брать и отбрасывать предыдущий опыт!

Проблему сопоставления наших предыдущих знаний и новых данных пытается решить группа методов, основанных на теореме английского священника Томаса Байеса.

Не вдаваясь в математические подробности, опишем общую логику. Предположим, что из предыдущих опытов мы выяснили, что в 60% случаев случайно выбранный песик больше случайно выбранного котика. Проведя собственный эксперимент, мы обнаружили, что это число гораздо выше — 80%. Следует ли из этого, что нам нужно забыть наш предыдущий опыт и заменить старые данные новыми? Разумеется нет. Новый опыт только подправит предыдущую вероятность, и в следующий раз мы будем считать, что она несколько выше.

Из предыдущих разделов мы узнали, как определить, различаются ли между собой песики и котики по размеру. И если мы отвечаем на этот вопрос положительно, то мы, по сути, устанавливаем связь между двумя признаками: размером и биологическим видом, к которому принадлежат эти животные.

Однако, согласитесь, что мир не ограничивается только лишь котиками или песиками. Ведь существует еще и множество других животных. Например, слоники.

И, если мы добавим их к нашему небольшому зоопарку, мы не сможем применить обычное попарное сравнение (например, по t-критерию Стьюдента или U-критерию Манна-Уитни) для определения того, связан ли размер с биологическим видом. В этих случаях необходимо использовать другие методы. Например, дисперсионный анализ .

Дисперсионный анализ хорош тем, что позволяет сравнивать между собой любое количество групп (две, три, четыре и т. д.) Его нулевая гипотеза состоит в том, что животные абсолютно не различаются между собой по размеру. Альтернативная гипотеза — хотя бы один вид значимо отличается от остальных.

Теперь посмотрим, как это работает.

Во-первых, давайте объединим котиков, песиков и слоников вместе и отметим их общее разнообразие. Мы можем заметить, что размеры их типичных представителей могут существенно различаться. Например, средний слоник намного больше среднего котика.

Теперь предположим, что мы убрали отсюда всех слоников. Как вы можете заметить, разнообразие размеров сильно уменьшилось, поскольку слоники вносили в него существенный вклад. И чем сильнее типичные слоники отличались от остальных, тем больше был этот вклад.

Однако отметим, что котики, песики и слоники по отдельности также бывают весьма различными в зависимости от возраста, генов и режима питания. Теоретически мы можем встретить как очень большого котика, так и весьма маленького слоника.

Таким образом, разнообразие размеров складывается как из принадлежности животного к тому или иному виду, так и из абсолютно «левых» факторов. И наша задача — сравнить между собой их вклады.

Как мы помним, одной из основных мер, определяющих разнообразие, является дисперсия. И дисперсионный анализ работает именно с ней. Он выделяет ту часть дисперсии, которая обусловлена фактором вида ( межгрупповую дисперсию ), и ту, которая определяется прочими факторами ( внутригрупповую дисперсию ), а затем сравнивает их по F-критерию Фишера, с которым мы встречались раньше. И чем больше будет значение этого критерия, тем сильнее фактор вида влияет на размер животных.