Дмитрий Елисеев - Рассказы о математике с примерами на языках Python и C

Интуитивно кажется, что если автомобиль спрятан за одной из дверей, то вероятность его найти равна 1/3, и смена двери ничего не даст. Однако это неверно.

Принцип прост: если игрок изначально правильно указал дверь с автомобилем (а вероятность этого действительно ⅓), то замена двери приведет его к проигрышу.

Однако в обеих других случаях изначального выбора невернойдвери (а вероятность этого ⅔) смена двери приведет к выигрышу. Таким образом, смена двери приведет к выигрышу с вероятностью ⅔ вместо ⅓.

Допустим, в организации работает 24 человека. Какова вероятность что хотя бы двое отмечают день рождения в один и тот же день? Интуитивно кажется, что эта вероятность весьма мала и будет равна 24/365, но и в этом случае интуиция ошибается. В реальности, мы должны рассматривать количество пар , которые могут образовать данные люди. Это число довольно-таки велико, например, если обозначить 5 человек как ABCDE, то количество возможных пар будет 10 (AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE), а для группы из 24 человек возможно 276 пар.

Для точного расчета воспользуемся принципом произведения вероятностей. Вероятность того, что для 2х людей день рождения не совпадет, равна 364/365. Для 3х человек вероятность что все дни не совпадут, равна произведению 364/365 * 363/365, и так далее. Для n-человек формула приведена в Википедии:

(n! — обозначение факториала, n! = 1 * 2* .. * (n - 1) * n)

Нужная нам вероятность обратного события равна обратной величине:

Вывести все значения несложно с помощью программы на Python:

import math

def C(n):

return 1000 – 1000 * math.factorial(365) / (math.factorial(365 – n) * 365**n)

for n in range(3, 50):

print("{} - {}%").format(n, 0.1 * C(n))

365! это очень большое число, поэтому здесь использованы целочисленные вычисления языка Python, уже затем значение было переведено в проценты.

В результате получаем следующую таблицу:

Как видно из таблицы, уже при количестве сотрудников 50 человек, хотя бы 1 день рождения почти гарантированно совпадет (вероятность 97%), а для 24 человек получаем вероятность равную 0.538, т. е. более 50%.

Посмотрим на фотографию поверхности Луны. Эта фотография была сделана в телескоп с балкона:

Что мы видим? Очевидно, лунную поверхность, покрытую кратерами, оставшимися от предыдущих столкновений метеоритов с Луной.

Казалось бы, причем здесь математика? При том, что столкновение с метеоритом — случайное событие, его частота подчиняется теории вероятности. На Луне нет атмосферы, нет эрозии и ветра, поэтому лунная поверхность — идеальная «книга», в которой записаны события последних десятков тысяч лет. Изучая поверхность Луны, можно подсчитать какого размера объекты падали на ее поверхность.

Исследование поверхности Луны камерами высокого разрешения ведется и сейчас. Было подсчитано, что за последние 7 лет на Луне образовались не менее 220 новых кратеров. Это важно еще и потому, что данные подсчеты помогут оценить опасность для Земли.

Есть ли кратеры на Земле? Разумеется есть. Данная фотография сделана вовсе не на Луне или на Марсе, а в США:

Так называемый Аризонский кратер возник около 50 тыс. лет назад после падения метеорита диаметром 50 метром и весом 300 тысяч тонн. Диаметр кратера составляет более километра. В Сибири находится кратер Попигай размером 100 км, он был открыт в 1946 году.