Дмитрий Елисеев - Рассказы о математике с примерами на языках Python и C

Другим примером может быть время ожидания автобуса. Если человек пришел на остановку в случайное время, то период ожидания может быть любым, от нуля до максимума интервала движения.

Возьмем группу людей, например в 100 человек, и измерим их рост. Очевидно, что будет некоторое количество людей небольшого роста, некоторое количество высоких людей, совсем мало очень высоких, и совсем мало очень низких. Такое распределение естественно для многих объектов, не только людей, потому оно и называется нормальным .

Формула нормального распределения совпадает с формулой Гаусса:

Подбирая коэффициенты, можно получить разные виды распределения.

Касаемо роста людей, согласно сайту http://tall.life, график роста для мужчин и женщин имеет следующий вид:

Следующий вид распределения не менее интересен. Рассмотрим события, происходящие с некоторой известной интенсивностью независимо друг от друга, например приход покупателей в магазин. Допустим, в магазин приходит в среднем 10 покупателей в минуту. Какова вероятность, что в какой-то момент времени в магазин придет 20 покупателей?

Вероятность таких событий описывается распределением Пуассона:

График распределения имеет примерно такой вид (в нашем примере λ = 10):

Этим же распределением описываются различные случаи, от вероятности неисправностей (если 0,01% телевизоров имеют неисправность, какова вероятность что в партии из 20 штук окажется 2 неисправных телевизора), до скорости роста колоний в чашке Петри.

Вернемся к нашему примеру с 20 покупателями. В интернете можно найти таблицы значений Пуассона для λ=10. По ним можно найти, что вероятность прихода сразу 20 человек составляет 0,19%.

С бытовой точки зрения, скорость света практически мгновенна. Действительно, свет за секунду может обогнуть Землю 8 раз, а за 2 секунды пролетает расстояние от Земли до Луны. Поэтому до 17-го века про реальную скорость света никто не знал. Как же ее вычислили?

Сегодня опыт по измерению скорости света можно провести даже в школе — достаточно длинного куска кабеля, генератора импульсов и осциллографа. Действительно, задержка сигнала в куске кабеля длиной 50 м, будет равна 50/300000000, или 0,016 мкс — величина которую покажет даже дешевый осциллограф с максимальной частотой 10-20 МГц. Но как же это сделали в 17-м веке, когда не было не то что осциллографов, даже до появления лампы накаливания было еще 200 лет ожидания? Помогли астрономия, геометрия, и разумеется, математика.

Говоря точнее, помогло наблюдение Юпитера и его спутников. Спутники Юпитера были открыты еще Галилеем, увидеть их может каждый, даже с балкона в небольшой телескоп. С увеличением около 300х они видны примерно так:

Период вращения спутников Юпитера невелик, и составляет примерно 2 дня. Уже в 17-м веке измерение времени было достаточно точным (маятниковые часы изобрел голландский физик и математик Гюйгенс в 1657 г.), чтобы датский астроном Олаф Ремер в 1676 году обнаружил расхождение расчетного и реального положения спутника примерно в 16 минут (величина, которую трудно не заметить даже при технологиях 17 века).

Для измерения орбит спутников Юпитера Ремер использовал момент, когда спутник входит в тень Юпитера — момент, который можно измерить довольно-таки точно. Как догадался Ремер, запаздывание во времени было связано с движением Земли по орбите.

Картинка с сайта http://www.speed-light.info:

В момент второго измерения расстояние до Юпитера больше примерно на диаметр орбиты Земли (период обращения Юпитера вокруг Солнца — 12 лет, что гораздо больше земного). Это и приводило к тому, что свет от Юпитера приходил с большим запаздыванием, чем при первом измерении. Сделав подсчеты, Ремер получил значение скорости света в 220000 км/c. В то время конечность скорости света казалась настолько невероятной, что после публикации во французской академии наук далеко не все поверили молодому ученому. Разумеется, последующие измерения подтвердили правильность метода.