Стивен Строгац - Бесконечная сила [Как математический анализ раскрывает тайны вселенной]

В 1996 году журнал Time назвал Дэвида Хо человеком года [254]. В 2017-м Алан Перельсон получил премию Американского физического общества [255], присуждаемую за исследования в области биологической физики, за «весомый вклад в теоретическую иммунологию, который спасает жизни». Он по-прежнему использует математический анализ и дифференциальные уравнения для изучения динамики вирусов. Последние работы ученого связаны с вирусом гепатита С [256], от которого страдают около 170 миллионов человек по всему миру и который ежегодно убивает примерно 350 тысяч. Он – основная причина развития цирроза и рака печени. В 2014 году с помощью математических разработок Перельсона были созданы безопасные и удобные для приема (один раз в день) таблетки для лечения гепатита С. Невероятно, но они излечивают почти всех больных.

Во второй половине XVII века анализ бесконечно малых претерпел метаморфозы, став настолько системным, полезным и мощным, что многие историки уверяют, что именно тогда он и был «изобретен». Согласно этой точке зрения, до Ньютона и Лейбница существовал некий протоанализ, а после них – анализ. Я бы так не сказал. Для меня анализ зародился еще во времена Архимеда, обуздавшего бесконечность.

Как бы там ни было, между 1664-м и 1676 годом анализ пережил драматические изменения, а вместе с ним изменился и мир. В науке это позволило читать книгу природы, о чем мечтал Галилей. В области технологий положило начало промышленной революции и информационному веку. А в философии и политике наложило отпечаток на современные представления о правах человека, обществе и законах.

Я бы не стал говорить, что анализ изобрели в конце XVII века, скорее, я бы описал произошедшее как эволюционный прорыв, аналогичный поворотному событию в биологической эволюции. На заре жизни организмы были относительно простыми. Это были одноклеточные создания, нечто вроде нынешних бактерий. Эра такой одноклеточной жизни продолжалась около трех с половиной миллиардов лет, то есть б о льшую часть истории Земли. Однако примерно полмиллиарда лет назад возникло невероятное разнообразие многоклеточной жизни, названное биологами кембрийским взрывом [257]. Буквально за несколько десятков миллионов лет – доли секунды по меркам эволюции – внезапно появились многие из основных типов животных. Аналогично и анализ стал «кембрийским взрывом» для математиков [258]. С его появлением начали развиваться самые разные области математики. Их происхождение видно по их названиям, связанным с анализом, по прилагательным, таким как дифференциальный, интегральный и аналитический – например, дифференциальная геометрия, интегральные уравнения или аналитическая теория чисел. Эти области высшей математики подобны многим видам многоклеточной жизни. При такой аналогии микробы математики – это самые ранние ее темы: числа, формы, задачи со словами. Подобно одноклеточным организмам они доминировали в математике б о льшую часть ее истории. Однако после «кембрийского взрыва» анализа триста пятьдесят лет назад появились и стали процветать новые формы математической жизни, изменившие окружающий ландшафт.

Б о льшая часть истории жизни – рассказ о движении организмов в сторону усложнения, которое строится на предшественниках. Это же справедливо и для математического анализа. Но куда ведет эта история? Есть ли какое-то направление у эволюции анализа? Или она, как некоторые говорят о биологической эволюции, не направлена и случайна?

В рамках чистой математики эволюция анализа была историей скрещивания и его преимуществ. Старые области математики обрели новую жизнь после скрещивания с анализом. Например, давнее изучение чисел и их закономерностей оживилось благодаря появлению инструментов, основанных на анализе, таких как интегралы, бесконечные суммы и степенные ряды. Получившийся гибрид называется аналитической теорией чисел. Аналогичным образом дифференциальная геометрия использовала анализ, чтобы пролить свет на структуру гладких поверхностей, и открыла новые горизонты, о которых даже не подозревала, – невообразимые криволинейные формы в четырех измерениях и выше. В этом смысле «кембрийский взрыв» анализа сделал математику более абстрактной и более мощной, а также придал ей ореол семейственности. Анализ выявил сеть скрытых взаимосвязей, соединяющих воедино все ее части.

В прикладной математике эволюция анализа – это история нашего расширяющегося понимания изменений. Как мы уже видели, анализ начался с изучения кривых, где изменения были изменениями направления, и продолжился изучением движения, когда изменения стали изменениями местоположений. После своего «кембрийского взрыва», и особенно с развитием дифференциальных уравнений, анализ перешел к изучению изменений в более общем смысле. Сегодня дифференциальные уравнения помогают нам предсказывать распространение эпидемий, место появления урагана и сколько платить за опцион на покупку акций в будущем [259]. Во всех областях человеческой деятельности дифференциальные уравнения стали основой для описания изменений в вещах вокруг и внутри нас, от субатомного уровня до самых дальних уголков космоса.