Стивен Строгац - Бесконечная сила [Как математический анализ раскрывает тайны вселенной]

Примерно через двадцать лет после открытия закона обратных квадратов [265]Ньютон сделал перерыв в своем увлечении алхимией и библейской хронологией и вернулся к вопросу движения под действием силы гравитации. Его подтолкнули к этому коллеги и соперники из Лондонского королевского общества. Они предложили ему разобраться с гораздо более сложной, по сравнению с предыдущими, задачей, которую никто из них не знал, как решить: если предположить, что сила притяжения со стороны Солнца убывает по закону обратных квадратов, то как бы двигались планеты? «По эллипсам» [266], – сразу же ответил Ньютон, когда Эдмунд Галлей задал ему этот вопрос. Удивленный Галлей спросил, откуда он знает, на что ученый ответил: «Я это вычислил». Когда Галлей убедил его опубликовать это доказательство, Ньютон вернулся к своей старой работе. В неистовом приливе активности, почти столь же яростном, как во время чумы, Ньютон написал «Начала».

Приняв три закона движения и закон тяготения за аксиомы и используя анализ в качестве дедуктивного инструмента, Ньютон доказал, что отсюда логически следуют все три закона Кеплера [267]. То же самое было верно для закона инерции Галилея, изохронности маятников, правила нечетных чисел для скатывания шаров и параболических дуг, по которым летят предметы. Все они были следствием закона обратных квадратов и соотношения F = ma . Такое обращение к дедуктивным рассуждениям потрясло коллег ученого и обеспокоило их по философским соображениям. Многие из них были эмпириками: они полагали, что логика применима только внутри самой математики, а природу нужно изучать путем экспериментов и наблюдений. Их ошеломила мысль, что природа обладает внутренним математическим ядром и что ее явления можно логически вывести из эмпирических аксиом вроде законов тяготения и движения.

Вопрос, который Галлей задал Ньютону, был чудовищно трудным. Он требовал преобразовать локальную информацию в глобальную, что было основной трудностью интегрального исчисления и прогнозирования, как мы обсуждали в главе 7.

Подумайте о том, как можно спрогнозировать гравитационное взаимодействие двух тел. Чтобы упростить задачу, представьте, что одно из них (Солнце) бесконечно массивно и поэтому неподвижно, в то время как другое (планета) движется вокруг него. Изначально планета находится на некотором расстоянии от Солнца, в определенном месте, и движется в заданном направлении с заданной скоростью. В следующий момент скорость планеты перемещает ее в новое положение, бесконечно близкое к тому, где она была момент назад. Поскольку местоположение изменилось, чуть-чуть изменилось и гравитационное притяжение от Солнца – и по направлению, и по величине. Эта новая сила (вычисляемая по закону обратных квадратов) влечет планету дальше и меняет ее скорость и направление движения на новую бесконечно малую величину (вычисляемую по формуле F = ma ) за следующий бесконечно малый момент времени. Процесс продолжается до бесконечности. Чтобы построить полную орбиту планеты, нужно как-то объединить, сложить вместе все эти бесконечно малые локальные шажки.

Таким образом, использование F = ma в задаче двух тел – это еще одно упражнение в применении принципа бесконечности. Архимед и другие ученые использовали его для загадки кривых, Ньютон же первым применил его к загадке движения. Какой бы безнадежной ни казалась задача двух тел, Ньютон сумел решить ее с помощью основной теоремы анализа. Вместо того чтобы двигать планету вперед момент за моментом, он использовал анализ, чтобы толкать ее вперед огромными скачками, словно по волшебству. Его формулы могли предсказать, где окажется планета и с какой скоростью она будет двигаться в любой будущий момент времени, какой только можно пожелать.

Принцип бесконечности и основная теорема анализа потребовались Ньютону еще в одном отношении. При первом подходе к задаче двух тел он идеализированно представлял Солнце и планету точечными объектами. Мог ли он смоделировать их более реалистично – как колоссальные сферические объекты, коими они на самом деле и есть, – и все равно решить задачу? А если бы мог, изменились бы при этом результаты?

Это были крайне трудные вычисления при уровне развития анализа в те времена. Только представьте, что потребуется, чтобы найти чистое притяжение колоссального шара Солнца и меньшего, но все равно гигантского шара Земли. Каждый атом Солнца притягивает каждый атом Земли. Сложность в том, что все атомы находятся на разных расстояниях друг от друга. Атомы в дальней половине Солнца оказывают более слабое гравитационное воздействие на Землю, чем атомы в ближней половине. Более того, атомы в левой и правой половинах Солнца тянут Землю в разных направлениях и с разной силой в зависимости от их собственного расстояния от нашей планеты. Все эти воздействия нужно сложить. Свести воедино все части задачи было сложнее, чем все когда-либо ранее сделанное в интегральном исчислении. Сегодня же мы ее решаем с помощью пугающего тройного интеграла.