Стивен Строгац - Бесконечная сила [Как математический анализ раскрывает тайны вселенной]

Было несколько причин для привлечения столь изощренной математики. Прежде всего – сложная геометрия самолета. Это не шар, не воздушный змей и не планер из бальсы. Форма самолета намного сложнее – крылья, фюзеляж, двигатели, хвост, закрылки и шасси. Все они отклоняют воздух, проносящийся мимо аппарата с огромной скоростью. И всякий раз, когда набегающий воздух отклоняется, он воздействует на все, что его отклоняет (это знает любой, кто когда-нибудь высовывал руку из окна автомобиля, мчащегося по шоссе). Если крыло самолета правильной формы, набегающий воздух стремится его поднять. Если самолет достаточно быстро двигается по взлетно-посадочной полосе, эта сила поднимает его в воздух и удерживает там. Однако наряду с подъемной силой, действующей перпендикулярно потоку набегающего воздуха, существует сила – лобовое сопротивление, – действующая параллельно потоку. Это сопротивление подобно трению. Оно мешает движению летательного аппарата и замедляет его, что требует более активной работы двигателей и повышенного расхода топлива. Вычисление величины подъемной силы и силы сопротивления для реалистичной формы самолета – чрезвычайно сложная задача, выходящая далеко за пределы человеческих возможностей. Но такие задачи необходимо решать – они крайне важны при проектировании самолетов.

Рассмотрим Boeing 787 Dreamliner [286]. В 2011 году крупнейшая в мире авиакосмическая компания Boeing выпустила реактивный самолет нового поколения, предназначенный для перевозки 200–300 пассажиров на большие расстояния. Утверждалось, что лайнер на 60 процентов тише и на 20 процентов экономичнее, чем Boeing 767, который он должен был заменить. Одна из самых инновационных особенностей – применение углепластика для фюзеляжа и крыльев. Эти композитные материалы космической эры легче и прочнее алюминия, стали и титана – традиционных материалов, применяемых для реактивных самолетов. Поскольку углепластик легче металла, он экономит топливо и позволяет самолету летать быстрее.

Но, пожалуй, самая новаторская вещь в Boeing 787 – активное применение математики и вычислений, которые превосходили аналогичную деятельность для всех предыдущих моделей самолетов. Анализ и компьютеры сэкономили компании Boeing массу времени – моделирование нового опытного образца намного быстрее, чем его строительство. Это также экономило деньги компании – компьютерные вычисления куда дешевле, чем испытания в аэродинамической трубе, стоимость которых за последние десятилетия взлетела буквально до небес. Дуглас Болл, главный инженер отдела технологий и исследований компании, отметил в интервью, что при разработке Boeing 767 в 1980-х годах компания сконструировала и протестировала семьдесят семь прототипов крыльев. Спустя 25 лет, используя суперкомпьютеры для моделирования крыльев Boeing 787, компания построила и протестировала всего семь экземпляров.

Уравнения в частных производных применялись в этом процессе всевозможными способами. Например, наряду с расчетами подъемной силы и сопротивления математики компании применяли анализ, чтобы спрогнозировать, как будут изгибаться крылья лайнера на скорости 900 километров в час. Когда на крыло действует подъемная сила, она заставляет его изгибаться вверх и скручиваться. Явление, которого инженеры обычно хотят избежать, – опасный эффект под названием аэроупругий флаттер [287], скверный вариант трепетания оконных жалюзи, когда дует ветерок. В лучшем случае такие нежелательные колебания крыльев приведут к ухабистому полету, в худшем – создадут цикл с положительной обратной связью: при колебаниях крылья меняют поток воздуха над собой так, что колебания только усиливаются. Известно, что флаттер повреждает крылья самолетов, проходящих летные испытания, вызывая проблемы с конструкцией и катастрофы (как произошло в 1997 году на авиашоу с истребителем Lockheed F-117 Nighthawk). Если серьезный флаттер случится на коммерческом рейсе, это поставит под угрозу жизни сотен пассажиров.

Уравнения, описывающие аэроупругий флаттер, тесно связаны с теми, которые мы упоминали при обсуждении лицевой пластики. Там разработчики модели в духе Архимеда аппроксимировали мягкие ткани и череп пациента с помощью сотен тысяч многогранников и многоугольников. В таком же ключе математики компании Boeing аппроксимировали крыло с помощью сотен тысяч крохотных кубиков, призм и тетраэдров. Эти простые формы играли роль строительных блоков. Каждому из них приписывалась определенная жесткость и эластичность, как и при лицевой пластике, а затем эти блоки подвергали сжатию и растяжению. Уравнения в частных производных, используемые в теории упругости, предсказывают поведение каждого элемента под воздействием этих сил. Наконец, с помощью суперкомпьютера все эти реакции объединили и использовали для прогнозирования общей вибрации крыла.