Жюль Пуанкаре - Теорема века. Мир с точки зрения математики

Но это не все. Физика не только дает нам повод к решению проблем; она еще помогает нам найти к этому средства. Это происходит двояким путем.

Во-первых, она дает нам предчувствие решения; во-вторых, подсказывает нам ход рассуждений.

Выше я уже говорил об уравнении Лапласа, которое встречается во множестве весьма далеких друг от друга физических теорий. Его же находим мы в геометрии (в теории конформного преобразования) и в чистом анализе (в теории мнимых величин).

Таким образом, аналитик, изучающий функции комплексных переменных, кроме обычного своего орудия – геометрического представления, – находит ряд физических образов, которые он может использовать с таким же успехом.

Благодаря этим образам он в состоянии сразу видеть то, что было бы лишь постепенно обнаружено путем чистой дедукции. Так, он соединяет разрозненные элементы решения и путем некоторого рода интуиции догадывается о том, что будет доказано лишь впоследствии.

Догадка предшествует доказательству! Нужно ли указывать, что именно так были сделаны все важные открытия?

Сколько истин позволяют нам предчувствовать физические аналогии, оправдать которые путем строгого рассуждения мы были бы не в состоянии!

Вот пример. Математическая физика употребляет множество разложений в ряды. Никто не сомневается в сходимости этих рядов, несмотря на отсутствие математической достоверности. Будущие исследователи одержат здесь несомненные победы.

С другой стороны, физика дает нам не только решения; в известной мере она дает нам и метод рассуждения. Достаточно напомнить, как Клейн воспользовался свойствами электрических токов при исследовании одного вопроса, относящегося к поверхностям Римана. Правда, рассуждения этого рода не строги в том смысле, в каком термин «строгость» употребляется аналитиками.

В связи с этим можно поставить вопрос: как может физик удовлетворяться доказательством, которое не достаточно строго с точки зрения аналитика?

По-видимому, не может быть двух степеней строгости; либо строгость налицо, либо ее нет; там, где ее нет, не может быть и умозаключения. Мы лучше поймем этот кажущийся парадокс, вспомнив те условия, при которых число находит применение к явлениям природы.

В чем, вообще говоря, источник затруднений, с которыми встречаются требования точности? На них почти всегда натыкаются в то время, когда хотят доказать, что такая-то величина стремится к такому-то пределу или что известная функция непрерывна, или что она имеет производную.

Но числа, которые физик измеряет в опыте, всегда бывают известны ему лишь приближенно; с другой стороны, произвольная функция всегда сколь угодно мало отличается от некоторой прерывной функции, и в то же время она также сколь угодно мало отличается от непрерывной функции.

Поэтому физик может по произволу предполагать изучаемую функцию прерывной или непрерывной, имеющей производную или не имеющей ее; у него нет оснований опасаться стать в противоречие с каким бы сто ни было опытом, ни современным, ни будущим. При такой свободе он, понятно, смеется над трудностями, удерживающими аналитика.

Он всегда может рассуждать так, как если бы все функции, входящие в его выкладки, были целыми многочленами.

Итак, беглый взгляд, достаточный для физики, не есть то умозаключение, к которому стремится анализ. Отсюда не следует, что первый не был в состоянии помочь отыскать второе. В форму строгих доказательств превращено столь много физических заключений, что теперь это превращение делается легко. Я мог бы привести множество примеров, если бы не опасался утомить внимание читателя.

Я надеюсь, что мною сказано достаточно для оправдания мысли: чистый анализ и математическая физика могут приносить друг другу пользу без какой-либо жертвы со своей стороны; каждая из этих наук должна радоваться всякому возвышению другой.

Правительства и парламенты должны считать астрономию одной из самых дорогих наук: самый малый инструмент стоит сотни тысяч франков, самая небольшая обсерватория – миллионы; каждое затмение влечет за собой дополнительные кредиты. И все это – ради светил, которые так далеки, которые совершенно чужды нашим избирательным распрям и, вероятно, никогда не примут в них никакого участия. Для этого нашим политическим деятелям надо сохранять остатки идеализма, смутное влечение к величественному. По правде говоря, я думаю, что на них немало клевещут. Следует ободрить их, показать им ясно, что этот инстинкт не обманывает их, что они не обмануты своим идеализмом.