Жюль Пуанкаре - Теорема века. Мир с точки зрения математики

Второй пример также заслуживает подробного размышления.

В то время, когда Максвелл начал свои труды, законы электродинамики, принятые до него, объясняли все известные явления. Он приступил к работе не потому, чтобы какой-либо новый опыт ограничил значение этих законов. Но рассматривая их под новым углом зрения, Максвелл увидел, что уравнения становятся более симметричными, если в них ввести некоторый член, хотя, с другой стороны, этот член был слишком мал, чтобы вызвать явления, которые могли бы быть оценены прежними методами.

Известно, что априорные взгляды Максвелла ждали своего экспериментального подтверждения в течение двадцати лет; если вам больше нравится другое выражение, – Максвелл опередил опыт на двадцать лет. Как он достиг этого триумфа?

Это произошло благодаря тому, что Максвелл был глубоко проникнут чувством математической симметрии; могло ли это быть, если бы до него другие не искали этой симметрии ради ее собственной красоты?

Это произошло благодаря тому, что Максвелл привык «мыслить векторами». Но векторы вошли в анализ через посредство теории мнимых величин. А те, кто изобрел мнимые величины, нисколько и не подозревали, что ими воспользуются для изучения реального мира: на это указывает достаточно ясно самое название этих величин.

Максвелл, быть может, и не был искусным аналитиком, но эта опытность была бы для него бесполезным и стеснительным бременем. Зато он в высшей степени обладал внутренним чувством математических аналогий. Вот почему он стал хорошим математическим физиком.

Пример Максвелла учит нас еще и другому.

Как следует нам обращаться с уравнениями математической физики? Должны ли мы просто выводить из них все следствия и рассматривать их как неощущаемые реальности? Нет, далеко не так. Главным образом они должны нас учить тому, что можно и что следует в них изменять. Только таким образом мы можем извлечь из них что-либо полезное.

Третий пример покажет нам, каким образом можем мы заметить математические аналогии в ряду явлений, с физической точки зрения не состоящих ни в кажущемся, ни в реальном соотношении такого рода, чтобы законы одного из этих явлений помогали нам догадываться о законах другого.

Одно и то же уравнение Лапласа встречается в теориях ньютоновского тяготения, движения жидкостей, электрического потенциала, в теории магнетизма, в теории теплопроводности и еще во многих других.

Что отсюда следует? Эти теории кажутся изображениями, скопированными одно с другого; они взаимно освещают одна другую, заимствуя друг у друга свой язык. Спросите у специалистов по теории электричества, не радуются ли они изобретению понятия о силовом потоке, внушенного гидродинамикой и теорией теплоты. Итак, математические аналогии не только дают нам возможность предчувствовать физические аналогии, но не перестают быть полезными и в том случае, когда последние оказываются ошибочными.

Резюмируем сказанное. Цель математической физики заключается не только в том, чтобы облегчить физику вычисление некоторых постоянных или интегрирование некоторых дифференциальных уравнений.

Она состоит еще в том, чтобы знакомить физика со скрытой гармонией вещей, показывая их ему под новым углом зрения.

Из всех сторон анализа наиболее возвышенны, наиболее, так сказать, прозрачны как раз те, которые будут наиболее плодотворны в руках, умеющих ими пользоваться.

Посмотрим теперь, чем анализ обязан физике.

Нужно было бы окончательно забыть историю науки, чтобы не помнить, что стремление познать природу имело самое постоянное и самое счастливое влияние на развитие математики.

Во-первых, физик ставит перед нами проблемы, решения которых он ждет от нас. Но задавая нам эти проблемы, он тем самым уже щедро оплачивает услугу, которую мы ему можем оказать, если нам удастся их разрешить.

Я позволю себе продолжить сравнение с изящными искусствами. Если бы чистый математик забыл о существовании внешнего мира, то он уподобился бы художнику, который умеет гармонически сочетать краски и формы, но у которого нет моделей. Его творческая сила скоро иссякла бы.

Числа и символы могут образовать бесконечное множество сочетаний. Как нам выбрать из этого множества те сочетания, которые заслуживали бы нашего внимания? Подчинимся ли мы исключительно руководству нашей прихоти? Эта прихоть, которая к тому же сама скоро выдохлась бы, увлекла бы нас, без сомнения, далеко друг от друга, и мы скоро перестали бы понимать друг друга.