Жюль Пуанкаре - Теорема века. Мир с точки зрения математики

Но это еще менее важная сторона вопроса.

Физика, без сомнения, помешает нам впасть в заблуждение, но она предохранит нас от еще более грозной опасности; она воспрепятствует нам безостановочно вращаться в одном и том же кругу. История показывает, что физика не только побуждала нас к выбору из целого множества представлявшихся нам проблем; она также ставила перед нами такие проблемы, о которых мы без нее никогда и не подумали бы.

Как ни разнообразна фантазия человека, природа еще в тысячу раз богаче. Чтобы следовать за нею, нам приходится вступать на пути, на которые мы не обращали внимания; а эти пути приводят нас часто к вершинам, откуда мы открываем новые кругозоры. Что может быть более полезно!

О математических символах можно сказать то же, что о физических реальностях. Только сравнивая различные стороны вещей, мы будем в состоянии понять их внутреннюю гармонию, которая одна только прекрасна и, следовательно, достойна наших трудов.

Первый пример, какой я приведу, настолько стар, что могло бы явиться искушение его забыть. Тем не менее он важнее всех прочих.

Единственный естественный предмет математической мысли есть целое число. Непрерывность была внушена нам внешним миром. Она, без сомнения, изобретена нами, но изобрести ее нас вынудил внешний мир.

Без него не было бы анализа бесконечно малых. Все математическое знание свелось бы к арифметике или к теории подстановок.

Но мы, напротив, посвятили изучению непрерывности почти все наше время, почти все наши силы. Кто пожалеет об этом? Кто станет считать, что это время и эти силы были потеряны?

Анализ развертывает перед нами безграничные перспективы, о которых не подозревает арифметика. Он показывает нам с одного взгляда грандиозный ансамбль, распорядок которого прост и симметричен, напротив того – в теории чисел, где царит непредвиденность, взор встречает препятствия на каждом шагу.

Вам, без сомнения, скажут, что вне целого числа нет строгости, а следовательно, нет математической истины, что оно скрывается всюду и что нужно стараться разоблачить его покровы, хотя бы для этого пришлось обречь себя на нескончаемые повторения.

Но мы не будем столь строги; мы будем признательны непрерывности, которая, если даже всё исходит из целого числа, одна только была способна извлечь из него так много .

Нужно ли напоминать, как Эрмит получил поразительные результаты от введения непрерывных переменных в теорию чисел? Таким образом, подверглась вторжению область целого числа в собственном смысле, и это вторжение водворило порядок в царстве хаоса.

Всем этим мы обязаны непрерывности, а следовательно, физической природе.

Ряд Фурье является ценным инструментом, постоянно употребляемым в анализе. Благодаря именно этому средству оказалось возможным изображать прерывные функции. Но Фурье изобрел его, имея целью решение одной физической проблемы, касающейся распространения тепла. Если бы не была естественным образом поставлена эта проблема, никогда бы не решились отдать должное прерывности и долго бы еще смотрели на непрерывные функции как на единственные истинные функции.

Благодаря этому понятие функции значительно расширилось и получило у некоторых аналитиков-логиков непредвиденное развитие.

Эти аналитики пустились в области, где царствует наиболее чистая абстракция, и удалились от реального мира настолько, насколько это возможно. Однако повод к этому им был доставлен физической проблемой.

Вслед за рядом Фурье в область анализа вошли другие аналогичные ряды. Они вошли в ту же дверь: они были придуманы в прикладных целях.

Теория уравнений второго порядка с частными производными имела подобную же историю. Она развивалась главным образом через физику и для нее. Она может принимать множество форм, ибо для определения неизвестной функции недостаточно одного подобного уравнения: необходимо добавить дополнительные так называемые граничные условия; отсюда вытекает много разных проблем. Если бы аналитики предались своим естественным стремлениям, они знали бы из них только одну – ту самую, которая рассмотрена Софьей Ковалевской в ее знаменитом мемуаре. Все множество других проблем осталось бы неизвестным.

Каждая физическая теория – теория электричества, теория теплоты – представляет нам эти уравнения под новым видом. Итак, можно сказать, что без них мы не знали бы уравнений с частными производными.

Бесполезно было бы множить примеры. Сказанного достаточно, чтобы вывести такое заключение: когда физики требуют от нас решения проблемы, они не бремя возлагают на нас, но, напротив, заслуживают нашей благодарности.