Бен Орлин - Математика с дурацкими рисунками. Идеи, которые формируют нашу реальность

В 1920-е годы алгебра, вероятно, была самой скучной из всех отраслей математики [19] Israel Kleiner, «Emmy Noether and the Advent of Abstract Algebra», A History of Abstract Algebra (Boston: Birkhäuser, 2007), 91–102, https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-0-8176-4685-1_6#page-2 . Я исказил аргумент Клейнера; ключевая идея в том, что в XIX веке удалось добиться больших успехов в геометрии и математическом анализе, но алгебра оставалась в первозданном закостенелом состоянии. . Заниматься алгеброй означало увязнуть в трясине мелочей, угодить в терновый куст громоздких технических формальностей, в дисциплину деталей.

И вот в 1921 году математик по имени Эмми Нётер [20] Joaquin Navarro, Women in Maths: From Hypatia to Emmy Noether. Everything is Mathematical (Spain: R. B. A. Coleccionables, S. A., 2013) [ Наварро Х. Женщины-математики: от Гипатии до Эмми Нётер. Вып. 37. 2014. — (Сер.: Мир математики).] опубликовала статью под названием «Теория идеалов в кольцевых областях». Забрезжила заря новой эпохи. Позже ее коллега сказал, что это рассвет «абстрактной алгебры как осознанной дисциплины». Нётер не была заинтересована в распутывании конкретных числовых схем. На самом деле она отложила саму идею числá в сторону. Для нее имели значение только симметрия и структура. «Она учила нас думать, пользуясь простыми и, соответственно, общими терминами, — вспоминал впоследствии один из ее коллег. — Поэтому она открыла путь к выявлению алгебраических закономерностей там, где раньше закономерности не были ясны».

Хорошая научная работа прежде всего требует сосредоточения на мельчайших деталях. Великая научная работа требует пренебрежения к деталям.

Для Нётер абстрагирование было не просто интеллектуальной привычкой, а стилем жизни. «Она часто перескакивала на родной немецкий, когда была поглощена какой-нибудь идеей, — рассказывал потом другой ее коллега [21] Профессор Грейс Шоуэр Квин. См.: Marlow Anderson, Victor Katz, and Robin Wilson, Who Gave You the Epsilon? And Other Tales of Mathematical History (Washington, DC: Mathematical Association of America, 2009). . — Она любила пешие прогулки. Она приглашала учеников на променад в субботу днем и была настолько поглощена разговорами о математике, что забывала об автомобилях, и ученикам приходилось оберегать ее».

Великих математиков не волнуют тривиальности наподобие пешеходных переходов и интенсивности автомобильного потока. Они смотрят умственным взором на нечто большее.

В 1998 году Сильвия Серфати [22] См. интервью с Сильвией Серфати: Siobhan Roberts, «In Mathematics, ‘You Cannot Be Lied To’», Quanta Magazine , February 21, 2017, https://www.quantamagazine.org/sylvia-serfaty-on-mathematical-truth-and-frustration-20170221 . Я рекомендую статьи Робертса о математике так же горячо, как альбомы R. E. D. была поглощена вопросом: как определенные вихри эволюционируют со временем. Она даже написала об этом монографию («Вихри в магнитной модели Гинзбурга — Ландау»), но чувствовала, что зашла в тупик, решая эту головоломку.

«Много хороших исследований, — говорила она позже, — на самом деле начинаются с очень простых вещей, элементарных фактов, краеугольных кирпичиков… Прогресс в математике начинается с понимания системного случая, простейшего примера, в котором вы сталкиваетесь с той или иной задачей. И зачастую достаточно несложных вычислений; просто никому не приходило в голову рассмотреть задачу под таким углом».

Вы можете атаковать замок, ломясь в главные ворота и сражаясь с оборонительными силами лоб в лоб. Или вы можете попытаться лучше понять устройство замка — и, возможно, найти более легкий способ попасть внутрь.

Математик Александр Гротендик предложил другую метафору: представьте, что задача — это вкуснейший фундук, но лакомое ядрышко защищает скорлупа. Как расщелкать ее?

Есть два базовых подхода. Во-первых, взять молоток и бить по ореху, пока он не треснет. Результат достигнут, но этот метод грубый и требует усилий. Во-вторых, вы можете погрузить орех в воду.

По словам Гротендика, «время от времени вы трете орех, чтобы жидкость проникала внутрь, иначе вы потеряете время. Через недели и месяцы скорлупа становится мягче — и в один прекрасный день достаточно будет надавить рукой, чтобы скорлупа треснула, как очень спелое авокадо» [23] Colin McLarty, « The Rising Sea: Grothendieck on Simplicity and Generality », May 24, 2003, http://www.landsburg.com/grothendieck/mclarty1.pdf . .