Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Поскольку нет никакой возможности реализовать на практике аккумулятор, поперечное сечение которого являлось бы терагоном Пеано (таким, например, как на рис. 106), Ле Меоте с сотрудниками [645] проводил теоретические исследования всевозможных реалистичных конструкций и изучал настоящие аккумуляторы. Поразительна эффективность фрактальной геометрии.

Перколяция на решетках: испытание модели из главы 13.Указанная фрактальная модель контактных кластеров в бернуллиевой перколяции, предложенная в главе 13, прямо-таки напрашивается на экспериментальную проверку. Спешу вас обрадовать: просьба удовлетворена.

В работе [642] определено число узлов в кластере на расстоянии от начала координат, меньшем R , и установлено верное значение размерности D~1,9 . Кроме того, из перехода между фрактальной областью и областью однородности получено значение ξ .

Перколяция в тонких пленках золота и свинца.Бернуллиева перколяция является, безусловно, математическим процессом. Хаммерсли вводит ее в надежде, что с ее помощью можно будет проиллюстрировать и тем самым прояснить многие природные феномены. Применимость фрактальной геометрии к бернуллиевой перколяции была опробована на примере гнусного золота [668] и благородного свинца [641].

Исследователи Au приготовили тонкие пленки при комнатной температуре посредством электронного напыления на окна из аморфного Si 3 N 4 толщиной 30 нм, выращенные на кремниевой подложке. Пленкам была придана переменная толщина, в результате чего вместо одного образца получился целый ряд образцов – от полностью изолирующих до электропроводящих. Предсказания главы 13 оказались верными до последней запятой.

В статистической физике считается, что иногда полезно постулировать то или иное пространство с дробной размерностью. Математиков же такие пространства выводят из душевного равновесия: мало того, что эти пространства никто нигде не строит, никто даже не берет на себя труд доказать их существование и единственность. Тем не менее, физики получают весьма существенные результаты, исходя из допущения, что упомянутые пространства действительно существуют и вдобавок обладают определенными сильными и желательными свойствами: они инвариантны при смещении, а их интегралы количества движения и рекуррентные соотношения можно получить из евклидовых пространств с помощью формального аналитического продолжения.

Пространства с дробной размерностью способны привести исследователя фракталов в замешательство. С одной стороны, существует большое количество альтернативных фрактальных интерполяционных пространств, и, следовательно, можно говорить о неопределенной интерполяции. С другой стороны, фракталы, которые мы в работе [165] применили для описания физических явлений, вовсе не являются инвариантными при смещении. В этом отношении может создаться впечатление, что фракталы не так хороши, как постулированные пространства с дробной размерностью.

Решение этой проблемы было подсказано аналогичной критикой, направленной в адрес моей первой модели распределения галактик. На тот случай, когда для фрактала невозможна точная инвариантность при смещении, в главах 34 и 35 показано, что можно подойти к инвариантности сколько угодно близко, придав достаточно малое значение лакунарности.

С этой точки зрения в работе [630] рассмотрена некая последовательность ковров Серпинского (см. главу 14), лакунарность которых стремится к нулю. Вычислены некоторые физические свойства и показано, что предельные фракталы с нулевой лакунарностью идентичны по своим свойствам постулированным пространствам с дробной размерностью.

Легко управляемые модели настолько милы сердцу физика, что любая конструкция, обещающая возможность выполнения вычислений без необходимости в приближениях привлекает самое широкое внимание.

Среди разветвленных фигур, рассмотренных в главе 14, наиболее важной является салфетка Серпинского, однако с ней и труднее всего работать. Тем не менее, манипуляциям она не поддается. Некоторые такие манипуляции, забавные и полезные, проведены в работах [663, 656, 657, 617].