Альфред Реньи - Диалоги о математике

Математизация наших знаний состоит не только и не столько в том, чтобы использовать готовые математические методы и результаты, а в том, чтобы начать поиски того специфического математического аппарата, который позволил бы наиболее полно описывать интересующий нас круг явлений, выводить из этого описания новые следствия, чтобы уверенно использовать особенности этих явлений на практике. Так случилось в период, когда изучение движения стало насущной необходимостью, а Ньютон и Лейбниц завершили создание начал математического анализа. Этот математический аппарат до сих пор является одним из основных орудий прикладной математики. В наши дни разработка теории управления процессами привела к ряду выдающихся математических исследований, в которых заложены основы оптимального управления детерминированными и случайными процессами.

Двадцатый век резко изменил представления о прикладной математике. Если раньше в арсенал средств прикладной математики входили арифметика и элементы геометрии, то восемнадцатый и девятнадцатый века добавили к ним мощные методы математического анализа. В наше время трудно указать хотя бы одну значительную ветвь современной математики, которая в той или иной мере не находила бы применений в великом океане прикладных проблем. По-видимому, разделение математики на прикладную и теоретическую потеряло смысл. Вероятно, не математика, а математики разделяются по своим интересам и творческой направленности на прикладников и теоретиков. Одни считают своей основной задачей преодоление трудностей, связанных с решением задач, которые не поддавались усилиям прежних поколений. Эти задачи интересуют их сами по себе, вне сйязи не только с прикладными вопросами, но и прогрессом математики в целом. Других волнует построение математики в ее основах. Они стремятся так отшлифовать центральные понятия математики, чтобы охватить ими возможно более широкий круг задач. Наконец, есть математики, для которых математика и ее методы существуют не ради самих себя, а в качестве орудия познания законов природы. Конкретная практическая задача для них — лишь источник размышлений; решая ее, они разрабатывают общие приемы, позволяющие освещать широкий круг различных вопросов. Такой подход особенно важен для прогресса науки. От этого выигрывает не только данная область приложений, но и все остальные, а в первую очередь — сама теоретическая математика. Именно такой подход к математике заставляет искать новые методы, новые понятия, способные охватить новый круг проблем, он расширяет область математических исследований. Последние десятилетия дают нам множество примеров подобного рода. Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить появление в математике таких теперь центральных ее ветвей, как теория случайных процессов, теория информации, теория оптимального управления процессами, теория массового обслуживания, ряд областей, связанных с электронными вычислительными машинами.

Математик-прикладник обязан владеть существом реальной задачи, уметь выбрать математический инструмент, который лучше всего подходит к ней, а если такого инструмента еще не существует, то разработать его, построить разумную математическую модель изучаемого процесса, вывести из нее необходимые следствия и найти их истолкование. Настоящий математик-прикладник не может ограничиваться каким-либо одним методом и втискивать реальную проблему в известный ему математический аппарат; для каждой реальной проблемы он должен находить те математические средства, которые наиболее соответствуют ее природе. И прав Архимед, когда во втором диалоге говорит, что по сравнению с чистыми геометрами он сделал шаг дальше, указав также на нематематические следствия из теоремы о параболе.

Я убежден, что сейчас больше, чем когда бы то ни было, мы должны обратить внимание на воспитание молодых математиков, которые в математическом аппарате, в математических методах и в результатах приучились бы видеть не просто логически стройную систему знаний, но и возможности их использования для проникновения в тайны природы, управления техническими системами, лучшего использования материальных ресурсов. Очень важно — и это должно быть главной идеей математического образования, — чтобы возможно больше молодых математиков были способны сделать этот «следующий шаг», о котором говорит Архимед в книге Реньи.

По-видимому, впервые четко и ярко о математике как языке науки сказал почти четыреста лет назад великий Галилео Галилей: «Философия написана в грандиозной книге, которая открыта всегда для всех и каждого, — я говорю о природе. Но понять ее может лишь тот, кто научился понимать ее язык и знаки, которыми она написана. Написана же она на математическом языке, а знаки ее — математические формулы». Несомненно, что с тех пор наука добилась огромных успехов и математика была ее верной помощницей. Без математики многие успехи науки и техники были бы просто невозможны. Недаром один из крупнейших физиков современности В. Гейзенберг так охарактеризовал место математики в современной теоретической физике: «Первичным языком, который вырабатывают в процессе научного усвоения фактов, является в теоретической физике обычно язык математики, а именно математическая схема, позволяющая физикам предсказывать результаты будущих экспериментов» [1] В. Гейзенберг , Физика и философия, ИЛ, М., 1963, стр. 140–141. .