Альфред Реньи - Диалоги о математике

Синьора Никколини . Очень интересно.

Галилей . Погодите, закончим наш разговор о падающих телах. Все, что я сказал ранее, может быть выражено следующими словами: скорость тела возрастает пропорционально времени. Теперь рассмотрим расстояние, которое проходит падающее тело с начала падения до какого-то произвольного момента. Обозначим расстояние, которое проходит тело в первую секунду, через а. Тогда, как я уже сказал, расстояние, пройденное во вторую секунду, будет равно За, а сумма расстояний за две первые секунды За+а=4а. Вы помните, что я говорил о расстоянии за третью секунду?

Синьора Никколини . Конечно, оно равно 5а, поэтому за три секунды расстояние станет равным 4а+5а=9а, за четвертую секунду проходится путь в 7а, следовательно, полный путь, пройденный т. елом за четыре секунды, равен 16а.

Галилей . Таким образом, падающее тело за две секунды проходит путь, равный 4а, за три секунды 9а, за четыре секунды 16а. Замечаете вы какую-нибудь закономерность?

Синьора Никколини . Мне кажется, расстояние, проходимое телом с начала падения, пропорционально квадрату времени. Не так ли?

Галилей . Да, это верно, и не только когда время равно 1, 2, 3, 4… секунд, но и в общем случае.

Синьора Никколини . Как можно доказать этот закон для общего случая?

Галилей . Очень просто. Нарисуйте прямую линию. Выберите точку Р 0на этой линии, которая будет соответствовать моменту начала движения. Тогда точка P t на той же линии, лежащая справа от точки Р 0 , соответствует времени t с начала движения. В точке P t проведем перпендикуляр к линии P 0 P t и выберем на нем такую точку Q t , расстояние от которой до P t равно скорости падающего тела в момент t. Так как скорость пропорциональна времени, то точка Q t будет лежать на прямой, начинающейся в точке Р 0 .

Синьора Никколини . Но как можно на этой фигуре найти полное пройденное расстояние?

Галилей . Очень просто — расстояние, пройденное вплоть до момента t, равно площади треугольника I' 0 P tQ t.

Синьора Никколини . Почему?

Галилей . При постоянной скорости расстояние равно произведению скорости на время. Пройденное расстояние равно площади прямоугольника, одна сторона которого изображает время, а вторая скорость. Если скорость изменяется, ситуация становится более сложной, но расстояние все так же равно площади. Например, если сначала скорость постоянна, а потом сразу увеличивается до какой-то величины, то путь равен площади фигуры, состоящей из двух прямоугольников. Если скорость изменяется несколько раз, но между двумя последовательными изменениями остается постоянной, то путь равен площади фигуры, состоящей из нескольких прямоугольников. Если скорость, начинающаяся с нуля, изменяется непрерывно и равномерно, то путь равен площади треугольника. Чтобы понять это, вы должны рассмотреть треугольник, как бы состоящий из бесконечного числа бесконечно тонких прямоугольников разной высоты.

Синьора Никколини . Удивительно. Этот вопрос рассматривается в вашей книге по математической теории движения?

Галилей . Да, и множество других. Подобно тому как можно вычислить, где будет падающий камень через две или три секунды после начала падения, можно показать, что траектория камня, брошенного в любом направлении, — парабола. Этот вопрос интересен не только в практическом смысле, но также и тем, что благодаря ему я могу показать, как следует комбинировать различные движения. И я никак не пойму, почему никто, кроме, возможно, Архимеда, тщательно не исследовал, что случается, когда роняют или бросают камень. Ведь еще Птолемей пытался подсчитать видимые орбиты Солнца, Луны и планет, наблюдения за которыми велись изо дня в день и из года в год. Более того, я утверждаю — даже если меня снова заподозрят в ереси, — что движение здесь, на Земле, подчиняется тем же законам, что и в небе .