Иэн Стюарт - Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

Когда Нётер закончила, один из постоянных слушателей ее лекций передал ей записку. «Гости поняли лекцию так же хорошо, как любой из постоянных посетителей».

Проблема с ее лекциями заключалась в том, что, в отличие от большинства математиков, Нётер обладала формульным мышлением. Для нее символы и были понятиями. Чтобы понимать ее лекции, нужно было мыслить так же. А это трудно.

Несмотря на это, именно Нётер с ее упором на формальные структуры суждено было проложить путь к значительной части современной математики. Иногда что-то приходится делать стиснув зубы.

Благополучно пройдя хабилитацию, Нётер быстро сменила поле деятельности и начала с того, чем закончил Дедекинд, когда заменил туманное понятие идеального числа, введенное Кюммером, на концептуально более простое, но и более абстрактное понятие идеала. Контекст для такого подхода сам по себе был абстрактным: теория колец – алгебраических систем, в которых сложение, вычитание и умножение определены и удовлетворяют обычным правилам, за возможным исключением коммутативного закона умножения xy = yx . Кольца образуют целые и действительные числа, а также полиномы от одной или нескольких переменных.

Мы можем получить некоторое представление об этих системах на примере обычных целых чисел. Традиционный способ думать о простых числах и делимости состоит в том, чтобы работать с конкретными целыми числами, такими как 2, или 3, или 6. Мы видим, что 6 = 2 × 3, так что 6 – не простое число; с другой стороны, для 2 или 3 такое разложение на меньшие числа невозможно, так что эти числа – простые. Но, как понял еще Дедекинд, существует и другой способ в этом убедиться. Рассмотрим множества, образованные всеми числами, кратными 6, 2 и 3, которые я обозначу следующим образом:

[6] = {…, –12, –6, 0, 6, 12, 18, 24,…};

[2] = {…, –4, –2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24,…};

[3] = {…, –6, –3, 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,…}.

Фигурные скобки здесь обозначают множества, и мы разрешаем отрицательные кратные числа. Обратите внимание: каждый элемент [6] является элементом [2]. Это очевидно: любое число, кратное 6, автоматически кратно и 2, поскольку 6 кратно 2. Аналогично каждый элемент [6] является также элементом [3]. Иными словами, делители заданного числа (в данном случае 6) можно найти, если проверить, какие множества такого рода содержат все кратные 6.

С другой стороны, некоторые числа, содержащиеся в [3], не входят в [2] и наоборот. Следовательно, 2 не делится на 3, а 3 не делится на 2.

В общем, если немного повозиться с этим, всю теорию простых чисел и делимости можно переформулировать в терминах множеств чисел, кратных данному. Эти множества и есть примеры идеалов, которые определяются двумя основными свойствами: сумма и разность чисел в идеале тоже входит в этот идеал, и произведение любого числа в идеале на любое число кольца тоже входит в идеал.

Нётер переформулировала Гильбертовы теоремы об инвариантах в терминах идеалов, а затем обобщила его результаты в совершенно новом направлении. Теорема Гильберта о конечном базисе для инвариантов сводится к доказательству того, что соответствующий идеал является конечно порожденным, то есть он состоит из всех сочетаний конечного числа многочленов (базиса). Нётер заново интерпретировала этот аргумент как утверждение о том, что любая цепочка возрастающих идеалов должна прекратиться после конечного числа шагов. То есть каждый идеал в кольце многочленов является конечно порожденным. Она опубликовала эту идею в 1921 г. в масштабной статье «Теория идеалов в кольцах». Эта статья дала толчок развитию общей теории коммутативных колец. Нётер стала настоящим экспертом по извлечению важных теорем из условия обрыва цепей, а кольцо, удовлетворяющее этому «условию обрыва возрастающей цепи», называют Нётеровым. Такой концептуальный подход к инвариантам был совершенно не похож на бесконечные расчеты в ее диссертации, которые она теперь пренебрежительно называла Formelgestrüpp – формульными джунглями.

Сегодня каждый студент-математик осваивает абстрактный аксиоматический подход к алгебре в процессе обучения. Важнейшим здесь является понятие группы, лишенное уже каких бы то ни было ассоциаций с перестановками или решениями алгебраических уравнений. В самом деле, абстрактная группа вовсе не обязана даже состоять из преобразований. Она определяется как произвольная система элементов, которые можно перемножать, получая при этом другой элемент этой же системы, в соответствии с коротким списком простых условий: это ассоциативный закон, существование в группе «единичного элемента», при умножении которого на любой другой элемент получается тот же элемент, и существование для каждого элемента системы «обратного» элемента, который при перемножении с данным дает единичный элемент. То есть существует элемент, который ничего не делает, каждому элементу соответствует другой элемент, который обращает вспять все, что делает первый, и если вы перемножаете три элемента подряд, то не имеет значения, какую пару вы перемножаете первой.