Хорди Деулофеу - Дилемма заключенного и доминантные стратегии. Теория игр

Несмотря на то что сумма цифр на гранях всех кубиков одинакова, синий кубик предпочтительнее красного, белый предпочтительнее синего, а красный предпочтительнее белого. Из девяти бросков в каждой паре кубиков обладатель первого кубика выигрывает в пяти случаях, обладатель второго — в четырех. Иными словами, вероятность выигрыша для одного из кубиков равна 5/9, для другого — 4/9. Эти вероятности легко подсчитать, проанализировав все возможные исходы для каждой пары кубиков. Поэтому если вы выбираете кубик после противника, то при верном выборе можете получить преимущество.

Фреска в Помпее, на которой изображены игроки в кости (I век).

Преподаватель решил разыграть подарок среди 30 учеников класса. Один из учеников предложил взять 30 бумажек, пометить одну из них, сложить бумажки пополам, перемешать и раздать ученикам. Преподаватель предложил более простой и быстрый способ: он загадает число от 1 до 30 и запишет его на листе бумаги. Затем каждый из учеников будет называть число, пока кто-нибудь не угадает число, загаданное преподавателем. Один ученик на заднем ряду возразил и сказал, что у него намного меньше шансов выиграть, чем у сидящих на первых рядах. Он сказал, что, скорее всего, он даже не сможет назвать число, так как до него кто-то почти наверняка назовет верный ответ. Прав ли этот ученик, или же, наоборот, преподаватель предложил справедливый способ розыгрыша?

Преподаватель предоставляет всем ученикам равные шансы, каждый имеет вероятность выигрыша в 1/30. Очевидно, что вероятность выигрыша для первого ученика равна 1/30, так как он может выбрать любое из 30 чисел. Вероятность выигрыша второго ученика равна 29/30 * 1/29 = 1/30 — это вероятность того, что первый ученик ошибется (29/30), а второй — нет (1/29). Для третьего ученика эта вероятность равна 29/30 • 28/29 • 1/28 = 1/30 и так далее. С другой стороны, заметим, что вероятность выигрыша для первого ученика однозначно равняется 1/30, и если бы для каждого последующего она уменьшалась, то сумма вероятностей оказалась бы меньше 1. Это абсолютно невозможно, так как 30 учеников назовут все 30 возможных чисел и один из них обязательно угадает.

Некий игрок в рулетку всегда ставит на четное или нечетное. Если он угадывает, то выигрывает столько же, сколько поставил; если ошибается, то теряет свою ставку. Он решает каждый раз ставить 1/10 от суммы, которая есть у него на руках. Если он начнет игру со 100 евро, сделает 10 ставок подряд, выиграв 5 раз и проиграв 3 раз, сколько денег у него останется — больше, меньше или столько же, сколько было вначале? Эту задачу можно обобщить для произвольной стартовой суммы, например, m евро и ставки в 1/n от суммы, которая находится на руках у игрока перед очередной ставкой.

Может показаться, что после 5 выигрышей и 5 проигрышей у игрока будет столько же денег, что и вначале. Однако это не так, и в действительности у него останется меньше денег. Выигрыш увеличивает сумму денег на 1/10, что равносильно умножению на 1,1. Проигрыш уменьшает сумму на 1/10, что равносильно умножению на 0,9. Поэтому после 5 выигрышей и 5 проигрышей (независимо от того, в каком порядке они происходили) имеем 100 * 1,1 5• 0,9 5= 100 • 1,61051 * 0,59049 = 100 • 0,95099 ≈ 95,099 евро. Игрок потеряет около 5 евро. Подобные рассуждения можно обобщить для произвольного случая. Тот факт, что итоговая сумма всегда будет меньше начальной, объясняется тем, что (1 + 1/n)(1 - 1/n) = 1 - 1/n 2, что всегда меньше 1. При умножении начальной суммы на число, меньшее 1, мы всегда получим меньшее число.

Карикатура XVIII века на игроков в «четное — нечетное». Эта игра — предшественник современной рулетки.

Одна из элементарных задач теории вероятностей с очень удивительным результатом формулируется так. Какова вероятность того, что среди 25 человек найдутся двое, у которых день рождения приходится на один и тот же день? Учитывая, что в году 365 дней (не будем учитывать високосные), а в группе всего 25 человек, интуиция подсказывает, что итоговая вероятность будет невелика и в любом случае меньше 1/2. Однако расчеты с применением теории вероятностей показывают, что эта вероятность будет больше 1/2.