Хорди Деулофеу - Дилемма заключенного и доминантные стратегии. Теория игр

С вопросов шевалье де Мере об азартных играх началась переписка Паскаля и Пьера Ферма, в которой впервые формулируется теория вычисления вероятностей (Паскаль называл ее геометрией случайности). В пяти письмах, датированных 1654 годом, анализируются азартные игры, изучением которых до этого уже занимался Джероламо Кардано.

В еще одной работе в этой области, «Трактате об арифметическом треугольнике» (1654), Паскаль проанализировал и доказал свойства арифметического треугольника, известного под названием треугольник Паскаля. Треугольник Паскаля несколько лет спустя использовал Ньютон для определения биномиальных коэффициентов. В 1655 году Паскаль завершает занятия математикой и наукой вообще и удаляется в монастырь, посвятив остаток жизни философии и религии.

Это один из величайших математиков всех времен, несмотря на то что он не был профессиональным математиком и при жизни ему не удалось опубликовать свои труды, которые стали известны лишь благодаря переписке с великими учеными того времени: Декартом, Мерсенном и Паскалем.

Ферма изучал юриспруденцию и большую часть жизни провел в Тулузе, где приобрел известность как королевский советник парламента (т.е. член высшего суда) этого города. Это позволило ему в свободное время отдаваться подлинному увлечению — математике. Область математики, которая интересовала его сильнее всего и в которую он внес наибольший вклад, — теория чисел. Одна из его теорем (для любого натурального числа n>2 уравнение x n+ y n= z nне имеет натуральных решений) была доказана лишь в конце XX века. Он также внес заметный вклад в геометрию и определение экстремумов функций для решения задач оптимизации еще до того, как было создано дифференциальное исчисление. В его переписке 1654 года с Блезом Паскалем впервые предприняты попытки определить понятие вероятности.

Чтобы познакомиться с понятием вероятности и его основными свойствами, попробуем решить две задачи, предложенные шевалье де Мере. Точная формулировка первой задачи такова: какова вероятность выбросить 6 очков минимум один раз, бросив игральные кости четыре раза? Для решения этой задачи используется собственное свойство вероятности. Оно гласит: вероятность того, что произойдет некоторое событие либо обратное ему, равна 1. Поэтому сначала мы вычислим вероятность того, что ни в одном из бросков игральных костей не выпадет 6. Очевидно, что при броске одного кубика p( не 6) = 5/6. Так как при броске четырех костей каждый бросок не зависит от остальных, можно определить требуемую вероятность перемножением отдельных вероятностей каждого события. Искомая вероятность равна:

(5/6) • (5/6) • (5/6) • (5/6) = (5/6) 4= 625/1296 = 0,482 < 1/2.

Отсюда следует, что вероятность выпадения минимум одной шестерки равна

1 — (625/1296) = 671/1296 = 0,518 > 1/2.

Следовательно, выгоднее ставить на то, что после четырех бросков шестерка выпадет хотя бы один раз, как и предполагал шевалье де Мере.

Аналогичным способом можно решить и вторую задачу: какова вероятность выпадения двух шестерок при броске пары кубиков 24 раза? Сперва мы снова рассчитаем вероятность того, что после 24 бросков две шестерки не выпадут ни разу. При броске двух игральных костей p( не две 6) = 35/36. Следовательно, для 24 бросков получим:

p (не две 6) = (35/36) 24= 0,5086.

Следовательно, вероятность выпадения двух шестерок минимум один раз равна

1 - 0,5086 = 0,4914 < 1/2.

Чтобы решить эти две задачи, которые можно считать первыми задачами теории вероятностей за всю историю, мы использовали несколько базовых определений и свойств теории вероятностей.

Ахиллес и Аякс играют в кости. Одна из самых известных афинских чернофигурных амфор (VI век до н.э.) — еще одно доказательство древности этой азартной игры.

Лаплас — один из величайших математиков XVIII века. Он изучал богословие и математику, был профессором Военной академии в Париже и читал лекции в Нормальной школе. Лаплас был членом Французской академии наук и Лондонского королевского общества. Во время Великой французской революции принял руководящее участие в работах комиссии по введению метрической системы. По указу Наполеона он был назначен членом сената и канцлером, а в 1805 году был награжден орденом Почетного легиона. После реставрации Бурбонов Лаплас поддерживал Людовика XVIII, который в 1817 году присвоил ему титул маркиза.