Агниджо Банерджи - Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним

Семь мостов Кёнигсберга через реку Преголя.

Эйлер также открыл ставшую знаменитой формулу многогранников (трехмерных тел с плоскими многоугольными гранями): В – Р + Г = 2, где В, Р и Г – число вершин, ребер и граней соответственно. И опять-таки она имеет прямое отношение к топологии – ведь она оперирует свойствами геометрических тел, не зависящими от количественных измерений.

Еще одним пионером в области топологии стал Август Мёбиус, изучивший свойства перекрученной на пол-оборота и свернутой в кольцо ленты, которая сегодня носит его имя – несмотря на то, что его соотечественник Иоганн Листинг опубликовал результаты собственных исследований ее свойств на несколько лет раньше, в 1861 году. Если полоску бумаги перекрутить на 180 градусов, а затем склеить концы вместе, получится кольцо с односторонней поверхностью – это легко проверить, ведя карандашом посередине полосы линию, пока та не вернется в исходную точку. Пол-оборота, соединение краев – и бумажная полоска превращается в ленту Мёбиуса, объект, который в глазах тополога коренным образом отличается от простого кольца или открытого с двух сторон цилиндра [53] Справедливости ради отметим, что с точки зрения самого базового понятия “деформируемости” в топологии – гомотопической эквивалентности – и лента Мёбиуса, и цилиндр эквивалентны окружности. Однако можно определить деформацию и так, чтобы эти объекты были различны, то есть не деформируемы один в другой (например, используя гомеоморфность, обсуждаемую далее). – Прим. науч. ред . . Любой разрыв в геометрическом теле или соединение вместе его концов превращает его в топологически новое тело. Отсюда следует еще одна особенность топологии: она хорошо подходит для описания внезапных скачкообразных изменений состояния системы – как обнаружили лауреаты Нобелевской премии по физике 2016 года.

Лента Мёбиуса: объект, который, будучи вложенным в трехмерное пространство, имеет только одну “сторону”.

В обычной геометрии все фигуры считаются жесткими и невзаимозаменяемыми. Квадрат – всегда квадрат, треугольник – всегда треугольник, и первый никогда не может превратиться во второй. Прямые линии обязаны оставаться идеально прямыми, а кривые – кривыми. В топологии же объекты вправе терять свою структурную жесткость и становиться эластичными, оставаясь при этом самими собой по сути, – при условии, что в них не делается разрезов и склеек. Квадрат, например, можно растяжением и сжатием превратить в треугольник, но с точки зрения топологии он останется самим собой: про такие фигуры говорят, что они гомеоморфны. Точно так же обе эти фигуры идентичны кругу (то есть “заполненной” окружности). Если говорить о трех измерениях, то куб гомеоморфен шару (“заполненной” сфере). Иными словами, поверхность куба топологически идентична поверхности сферы. А вот тор, или бублик, от сферы принципиально отличается: как бы вы их ни сжимали и ни растягивали, одинаковых фигур из них не получить.

Количество отверстий в объекте называется родом его поверхности. Сфера и куб имеют род 0, обычный тор – род 1, крендель (то есть двойной тор, с двумя отверстиями) – род 2 и так далее. Трехмерная топология может учитывать и более сложные факторы, скажем, структуру окружающего пространства, благодаря чему формируются узлы. Чтобы избежать путаницы, стоит сразу оговориться, что в теории узлов большинство известных нам узлов таковыми не считаются. Математический узел отличается от привычного нам узла на веревке или на шнурках ботинок тем, что его концы соединены вместе, так что развязать его невозможно.

Истинный узел удобно представить себе в виде окружности или любой другой замкнутой петли, обитающей в трехмерном евклидовом пространстве. Распутать его не поможет никакое растягивание и перекручивание. Единственный способ создать истинный (математический) узел из куска бечевки – это соединить его концы вместе, например склеить. Простейший узел, который можно получить с помощью этого метода, – тривиальный (или незаузленный) узел, то есть обычная петля. А вот дальше все становится сложнее.

Самый простой нетривиальный узел – это трилистник. Если вы попросите кого-то завязать кусок веревки узлом, а потом соедините свободные концы, чаще всего получится именно такой. Более сложные узлы – восьмерка и те, что состоят из нескольких простых: например, прямой (известный также как рифовый) или бабий узел. И прямой, и бабий узлы состоят из двух трилистников.