Агниджо Банерджи - Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним

Сверхскоростное перемещение – верный способ попасть в будущее, при условии что мы сумеем разработать технологию, позволяющую развить необходимую супервысокую скорость. Правда, это будет, к сожалению, путешествие в один конец. Способа вернуться обратно в прошлое мы пока не знаем, разве что нечто очень уж экстравагантное (и угрожающе непредсказуемое), вроде прыжка в “кротовую нору” – гипотетический тоннель в пространстве-времени. Впрочем, это не мешает людям фантазировать на тему того, что могло бы произойти, если бы путешествия в прошлое были возможны. Одна из вероятных проблем заключается в том, что, находясь в прошлом, мы можем вызвать в нем такие изменения, что наше собственное будущее существование окажется под угрозой. В фильме “Назад в будущее” Марти Макфлай на автомобиле DeLorean , работающем на плутониевом топливе, попадает в 1955 год, где встречает собственную мать – девочкой-подростком на пике гормонального всплеска. Марти благоразумно уклоняется от ее заигрываний. Оказавшись в прошлом, человек может случайно убить собственного деда, в тот момент еще мальчишку. Но ведь тогда этот человек не сможет родиться и стать путешественником во времени, который попал в прошлое и натворил дел, приведших к безвременной кончине деда. “Парадокс убитого дедушки” – классический аргумент в пользу невозможности путешествий в прошлое. Есть, впрочем, и другая точка зрения. Ее сторонники утверждают, что, отправившись в прошлое, мы расщепляем линию времени, так что все наши последующие поступки в прошлом происходят уже в новой, альтернативной “ветви”, совершенно отдельной, независимой от первоначальной, – а значит, нет никаких логических конфликтов и временны́х петель.

Бывают, правда, случаи, когда избежать таких конфликтов и петель гораздо сложнее. Представьте себе карточку, на которой написаны следующие три фразы:

(1) В этом предложении пять слов.

(2) В этом предложении восемь слов.

(3) Только одно из предложений на этой карточке истинно.

Истинно или ложно предложение (3)? Понятно, что предложение (1) истинно, а (2) ложно. Если (3) тоже истинно, тогда получается, что на карточке два истинных предложения, а значит, (3) ложно. Если же (3) ложно, значит, неправда, что лишь одно из трех предложений истинно. Однако в таком случае единственное истинное предложение – (1), а это означает, что предложение (3) тоже должно быть истинным. Но одно и то же утверждение не может быть одновременно и истинным, и ложным. А может оно не быть ни тем ни другим?

Эта небольшая головоломка напоминает другую, приписываемую древнегреческому провидцу, философу и поэту Эпимениду, жившему в VI веке до нашей эры. Согласно легенде, ему принадлежит фраза “Все критяне [то есть родившиеся на острове Крит] – лжецы”. Поскольку Эпименид и сам был критянином, его утверждение предполагает, что и он лжец. Таким образом, его высказывание кажется на первый взгляд парадоксальным. На деле же это не так, даже если предположить, что каждый критянин всегда либо лжет, либо, наоборот, говорит правду. Ошибка многих вот в чем: они знают, что если Эпименид говорит правду, то все критяне, включая его самого, – лжецы (противоречие!), но считают, что если он лжет, то это значит, что все критяне, в том числе и он, говорят правду. Это заключение неверно: если Эпименид лжет, из этого лишь следует, что среди критян есть как минимум один правдивый человек, но вовсе не обязательно, что все они говорят правду.

И все же утверждение Эпименида легко превратить в настоящий парадокс. Так называемый парадокс лжеца, приписываемый жившему в IV веке до нашей эры Евбулиду из Милета, можно лаконично сформулировать одной фразой: “Данное утверждение ложно”. Из нее следует, что если утверждение истинно, то оно ложно, а если оно ложно, значит, истинно.

За прошедшие столетия появилось немало вариантов парадокса лжеца. Жан Буридан использовал его для доказательства существования Бога. А всего около ста лет назад английский математик Филип Журден предложил версию, в которой на противоположных сторонах одной карточки написаны два утверждения. На одной стороне значится: “Утверждение на обороте карточки истинно”. На другой – нечто противоположное: “Утверждение на обороте карточки ложно”.

Пока никому так и не удалось найти простое или однозначное разрешение парадокса лжеца. Многие из тех, кто с ним сталкивается, либо с порога отвергают его как бессмысленную игру слов, либо говорят, что предложения хоть и корректны грамматически, но лишены реального содержания. И те и другие просто пытаются опровергнуть существование парадокса, но их возражения не выдерживают критики. Первые просто отказываются признавать, что проблема существует. Вторые утверждают, что предложения бессмысленны, на том основании, что они ведут к парадоксу. По формальным признакам фраза “Это утверждение ложно” ничем особенно не отличается от фразы “Это предложение не на французском языке”. Как же может первое не иметь смысла, если второе совершенно осмысленно?