Хаим Шапира - Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Кантора этот парадокс не особенно обеспокоил, так как он считал, что множество всех множеств слишком велико, чтобы считать его множеством. Не должен удивлять и читателя этой книги, так как мы знаем в свете парадокса Рассела, что не всякий набор объектов образует правильное множество.

Надеюсь, теперь вам ясно, что термины «мощность» или «кардинальное число» – это просто обобщение концепции «количества элементов», применяемой для конечных множеств, на множества бесконечные. Количество элементов конечных множеств обозначается натуральными кардинальными числами , но интуитивно понятно, что кардинальные числа также определяют количество элементов в бесконечных множествах. Например, если мощность некоторого множества – ℵ 0, то в нем содержится такое же количество элементов, как и в множестве натуральных чисел.

На уроках математики мы заучили, что над конечными числами можно производить математические операции – например сложение, деление и умножение. Такие же базовые операции можно определить и для множеств. В самом деле, когда мы складываем два натуральных числа, мы, по сути дела, «объединяем» их; эта операция аналогична объединению двух непересекающихся множеств (непересекающимися называются множества, не имеющие общих элементов). Если в одном множестве m элементов, а в другом – n элементов, то объединение этих двух множеств будет содержать n + m элементов.

Приведем один простой пример:

Если A = {Q, W, E, R, T, Y}, а B = {17, 21}, то A∪B = {Q, W, E, R, T, Y, 17, 21}.

В этом случае #A = 6, а #B = 2; следовательно, #A∪B = 6 + 2 = 8.

Операции с кардинальными числами работают точно так же. Например, чтобы вычислить сумму ℵ 0 + ℵ 0, нужно взять два непересекающихся множества, причем оба они должны быть счетными, и посмотреть, какую мощность будет иметь их объединение. Из приведенного примера мы увидим, что результат не зависит от того, какие именно множества мы выберем.

Например, возьмем A = (1, 3, 5, 7, 9, 11…) и B = (2, 4, 6, 8, 10…). Множества А и В не пересекаются, а мощность каждого из них, разумеется, равна ℵ 0.

Как вы видите, A∪B = N, то есть их объединение дает множество всех натуральных чисел, мощность которого, как мы знаем, равна ℵ 0.

Итак, получается, что ℵ 0 + ℵ 0 = ℵ 0. Собственно говоря, мы не открыли ничего нового: мы уже знали, что объединение двух счетных множеств также является счетным множеством.

Но тут нужна осторожность! Не следует увлекаться и думать, что к бесконечным значениям можно применять все правила обычной математики. Например, хотя ℵ 0 + ℵ 0 = ℵ 0, мы не можем вычесть из обеих частей этого равенства по ℵ 0, потому что тогда мы получили бы бессмысленное и, честно говоря, довольно нелепое выражение ℵ 0 = 0! Поэтому следует помнить, что обращение с бесконечными значениями требует некоторой осмотрительности.

Операцию умножения также можно описать в применении к множествам. Когда мы умножаем натуральное число n на m , эта операция на самом деле представляет собой обычное сложение n с самим собой, произведенное m раз, то есть n + n + + … + n = n · m . Преобразуем этот же принцип для множеств: если у нас есть два множества А и В, мы возьмем «В экземпляров» А в том смысле, что к каждому элементу b множества В мы прибавим экземпляр множества А. Например, если A = {Q, W, E, R, T}, а B = {17, 21, 33}, то произведением этих множеств будет объединение экземпляра множества А для числа 17, экземпляра А для 21 и экземпляра А для 33. Это можно записать следующим образом:

A × B ={< Q,17 >,< W,17 >,< E,17 >,< R,17 >,< T,17 >}∪{< Q,21 >,< W,21 >,< E,21 >,< R,21 >,< T,21 >}∪{< Q,33 >,< W,33 >,< E,33 >,< R,33 >,< T,33 >}.

Множество A × B содержит 15 элементов, что точно соответствует произведению числа элементов множества А и числа элементов множества В. Но для случая бесконечных множеств мы теперь можем утверждать, что ℵ 0 · ℵ 0 = ℵ 0. Опять же это всего лишь выражение того уже известного нам факта, что отель Гильберта может вместить счетное число счетных множеств.

Тем не менее, если поиграть немного с арифметическими операциями для бесконечных множеств, можно получить кое-какие небезынтересные результаты.

1. Из того, что ℵ 0 + ℵ 0 = ℵ 0, следует, что ℵ 0 + n = ℵ 0 для любого конечного числа n . Это связано с тем, что ℵ 0 ≤ ℵ 0 + n ≤ ℵ 0 + ℵ 0 = ℵ 0.

2. Если взять отрезок [0,1], мощность которого равна ℵ, и прибавить его к отрезку (1,2], мощность которого также равна ℵ, мы получим отрезок [0,2], мощность которого, как и мощность всех отрезков, равна ℵ. Таким образом, получаем ℵ + ℵ = ℵ. Обратите внимание на круглую скобку в начале обозначения отрезка (1,2]. Она означает, что точка «1» не включена в множество. Число 1 исключено из него, чтобы два множества были заведомо непересекающимися.