Хаим Шапира - Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Обозначим число, не живущее в гостинице, В. Разумеется, мы запишем его в виде B = 0, b 1b 2b 3b 4… где b i может быть равно либо 0, либо 1, и образуем его так, чтобы никакое b i не было равно a ii (a ii – это все числа, стоящие на диагонали составленного нами списка). Как мы это сделаем?

Идея чрезвычайно проста. Если a ii = 0, то b i должно быть равно 1. Если же a ii = 1, то b i должно быть равно 0.

Приведу пример. Допустим, мы как-то расположили все числа от 0 до 1, в записи которых используются только цифры 0 и 1. Они расположены совершенно в произвольном порядке, но предположим, что мы расставили их следующим образом:

A 1 = 0, 010010001…

A 2 = 0,0 10101010…

A 3 = 0,11 0110110…

A 4 = 0,100 110111…

A 5 = 0,0111 11110…

..……………………

Сформируем теперь число В. Цифру b 1 мы определим равной 1, потому что a 11 = 0 (первая цифра после запятой в числе А 1 равна 0); цифра b 2должна быть равна 0, потому что a 22 = 1 (a 22 – это вторая цифра после запятой в числе А 2); цифра b 3должна быть равна 1, потому что a 33 = 0. И так далее.

– Но откуда вы знаете, что число В не живет в гостинице? – не смогла смолчать Омега.

– Это совершенно очевидно. Первая цифра после запятой в числе В, то есть b 1, должна отличаться от первой цифры после запятой в числе A 1(то есть от цифры a 11). Мы уверены в этом, потому что мы специально построили число В так, чтобы на этом месте стояла другая цифра. Отсюда очевидно, что число В не может быть равно числу А 1, даже если бы все остальные его цифры в точности совпадали со всеми остальными цифрами числа А 1.

Перейдем теперь ко второй цифре после запятой в числе В, то есть к цифре b 2. Она должна отличаться от второй цифры после запятой в числе А 2 – по той же самой причине. Следовательно, каковы бы ни были другие цифры числа В, это число никак не может быть равно числу А 2.

Продолжим аналогичные рассуждения для всех остальных цифр числа В – для всего их бесконечного количества. Результат будет тем же самым для каждой из них. В числе В всегда будет по меньшей мере одна цифра, отличающая его от чисел, входящих в группу A i . Следовательно, мы должны заключить, что число В не может быть равно никакому конкретному числу А. Другими словами, число В не является постояльцем гостиницы. Оно приехало с Дельты-Континуума вместе со всеми своими друзьями, но, в отличие от них, в гостинице не поселилось.

– Если это так, я внесу число В в самое начало списка, перед А 1! – Омега запрыгала на месте, чрезвычайно возбужденная идеей, которая только что пришла ей в голову. Надо сказать, что разговоры с Омегой не были трудными для профессора, но иногда раздражали его.

– Да вы попросту ничего не поняли из моего объяснения! Смотрите: даже если вы добавите число В в начало списка, я всегда смогу сформировать некое новое число – назовем его Y, – которого в списке не будет, точно так же, как я сформировал число В.

– Вы правы. Но я все равно не понимаю, как может быть, что кому-то из постояльцев не найдется места в бесконечной гостинице.

– Это значит, что, хотя количество номеров в вашей гостинице и бесконечно, количество постояльцев, которые хотят в ней поселиться, еще более бесконечно, – объяснил профессор.

– Что вы такое говорите? Более бесконечно? – спросила чрезвычайно взволнованная Омега. – Объясните же мне, как бесконечное может быть более бесконечным, чем бесконечное!

Но престарелый профессор был совершенно обессилен своим долгим объяснением.

Как сравнить размеры разных множеств? Больше ли количество капель воды в Атлантическом океане, чем число возможных позиций на шахматной доске? Больше ли число мелодий, которые можно сочинить, чем количество рациональных чисел между 0 и 1? Как узнать, что в одном множестве содержится меньше элементов, чем в другом, если речь идет о множествах, чрезвычайно больших или даже бесконечных? В каком случае можно сказать, что два множества имеют одинаковые размеры? Легко ли отличить очень большую группу от бесконечной? О проблемах, которые могут возникнуть, если мы примем чрезвычайно большое множество за множество бесконечное, знал еще Архимед. В трактате под названием «Псаммит» (то есть «Исчисление песчинок») великий сиракузянин решил найти верхний предел, ограничивающий число песчинок, имеющихся во Вселенной.

Некоторые люди полагают… что число песка по величине бесконечно; я говорю… о том [ песке ], который имеется во всех странах, как населенных, так и не населенных. Есть, однако, и такие, которые не считают его бесконечным, но тем не менее думают, что не существует такого имеющего название числа, которое было бы больше его количества [45] Цит. по: Архимед . Сочинения / Пер. с др.-греч. И. Н. Веселовского. М.: Физматгиз, 1962. .