Яков Перельман - Живой учебник геометрии

Если нужно провести общую касательную к двум окружностям, т. е. провести прямую линию, которая касалась бы одновременно двух окружностей, то поступают следующим образом. Около центра одной окружности, например, около В (черт. 180), описывают вспомогательную окружность радиусом, равным разности радиусов обеих окружностей. Затем из точки А проводят касательные АС и AD к этой вспомогательной окружности. Из точек А и В проводят прямые, перпендикулярные к АС и AD , до пересечения с данными окружностями в точках E, F, H и G . Прямые, соединяющие Е с F, G с H , будут общие касательные к данным окружностям, так как они перпендикулярны к радиусам AE, CF, AG и DH .

Кроме тех двух касательных, которые сейчас были проведены и которые называются в н е ш н и м и, возможно еще провести две другие касательные, расположенные так, как на черт. 181 (в н у т р е н н и е касательные). Чтобы выполнить это построение, описывают вокруг центра одной из данных окружностей – например, вокруг В – вспомогательную окружность радиусом, равным с у м м е радиусов обеих окружностей. Из точки А проводят к этой вспомогательной окружности касательные. Дальнейший ход построения читатели смогут найти сами.

Повторительные вопросы

Что называется касательной? Сколько общих точек у касательной и окружности? – Как провести касательную к окружности через точку, лежащую вне окружности? – Сколько можно провести таких касательных? – Что такое центроис-катель? – На чем основано его устройство? – Как провести общую касательную к двум окружностям? – Сколько таких касательных?

Применения

71. Два прямых участка дороги соединены дугою так, что прямые участки имеют направление касательных к этой дуге (черт. 182). Угол между прямыми участками – 155°. Найти длину дуги, если радиус ее = 270 метров.

Р е ш е н и е. Из черт. 182 видим, что в четырехугольнике ОВЕС уг. Е – 155°, уг. ОBE – прямой, уг. ОСЕ – прямой. Так как сумма внутренних углов четырехугольника = 180° [4 – 2] – 360°, то угол О = 360° – [155° + 90° + 90°] – 25°. Длина полной окружности радиуса 270 м – 2 ? 3,14 ? 270 = 1700 м, а длина дуги в 25°= 1700 ? 25/360 = 120 м. Искомая длина дуги – 120 метров.

Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой между ними, называется круговым сектором (черт. 183). Вычислять площадь сектора легко, если знать, какую часть полной окружности составляет его дуга: такую же долю площади полного круга составляет площадь сектора. Если, например, дуга сектора содержит 60°, т. е. составляет 1/6 окружности, то площадь сектора в 6 раз меньше площади круга.

Если же число градусов в дуге сектора не известно, но известна длина этой дуги в линейных мерах, то площадь сектора вычисляется иначе. Рассуждая как в § 35, можно установить, что

п л о щ а д ь с е к т о р а р а в н а д л и н е е г о д у г и, у м н о ж е н н о й н а п о л о в и н у р а д и у с а. Обозначив длину дуги через l , а радиус через R , имеем для площади S сектора формулу:

S = ? lR

Другая часть круга, площадь которого приходится вычислять на практике, это та, которая отсекается от круга хордой. Часть круга, ограниченная хордой и дугою круга, называется к р у г о в ы м с е г м е н т о м (черт. 183). Если требуется вычислить площадь сегмента АпВ (черт. 184), то вычитают из площади сектора ОAnВ площадь равнобедренного треугольника АОВ .

Применения

Черт. 184 72. Участок луга имеет форму квадрата со стороною 24 м. К угловому колу на веревке в 10 м длиною привязана лошадь. Найти площадь участка, недоступного лошади.

Р е ш е н и е. Площадь всего луга = 242= 580 кв. м. Из нее надо вычесть площадь сектора, угол которого 90°, а радиус – 10 м; она равна четверти площади круга того же радиуса, т. е. 78 кв. м. Значит, искомая площадь = 580 – 78 = 500 кв. м.

73. Найти площадь сектора, обвод которого 1,36 см, а угол 200°.

Р е ш е н и е. Обозначим радиус сектора через х . Длина дуги такого радиуса, содержащая 20°, равна