Яков Перельман - Живой учебник геометрии

Та часть плоскости, которая охватывается окружностью, называется к р у г о м (черт. 107). Площадь круга, т. е. величину этой части плоскости, крайне неудобно, а иногда и невозможно находить помощью палетки, разделения на полосы или посредством взвешивания. Гораздо более точный и всегда применимый способ определения площади круга состоит в ее в ы ч и с л е н и и по длине диаметра или радиуса. Установим правило вычисления.

Представим себе, что в круге проведено близко друг к другу множество радиусов.

Они разделяют круг на фигуры, которые можно принять за узкие треугольники. Короткая сторона каждого такого треугольника, строго говоря, есть не отрезок прямой, а дуга; но если радиусы проведены очень близко, то дуга эта мало отличается от отрезка прямой. Длину высоты каждого из наших треугольников можно считать равной радиусу (если короткая сторона – основание). Площадь одного такого треугольника равна произведению дуги на половину радиуса (почему?); а площадь всех этих треугольников вместе равна произведению всех дуг вместе на половину радиуса. [9] По той же причине, по какой 3 5 + 4 5 + 7 5 = [3 + 4 + 7] Ч Ч 5: умножить каждое слагаемое – то же, что умножить сумму. Но все треугольники вместе составляют площадь круга, а все дуги вместе составляют длину окружности. Значит,

п л о щ а д ь к р у г а р а в н а д л и н е о к р у ж н о с т и, у м н о ж е н н о й н а п о л о в и н у р а д и у с а.

Обозначив площадь круга через S , а длину, как раньше, через С , имеем

т. е. площадь круга равна, умноженному на квадрат радиуса.

На практике чаще приходится вычислять площадь круга не по радиусу, а по диаметру, который удобнее измерять, нежели радиус. Так как d = 2 R , а R = d/2, то

Эти формулы нужно твердо помнить.

Повторительные вопросы

Как вычисляется площадь круга по радиусу? Как выразить эти соотношения формулами?

Применения

43. Найти площадь просвета трубы, диаметр которой равен 17 см.

Р е ш е н и е. Искомая площадь равна

44. Окружность древесного ствола 91 см. Найти площадь поперечного сечения.

Р е ш е н и е. Сначала находим диаметр окружности ствола; он равен 91: 3,14 = 29 см. Искомая площадь равна

45. Две кадки с квашеной капустой покрыты лежащими на капусте деревянными кругами с камнями. В первой кадке круг имеет в поперечнике 24 см и нагружен 10 кг; во второй поперечник круга равен 32 см, а груз – 16 кг. В какой кадке капуста находится под большим давлением?

Р е ш е н и е. Площадь круга в первой кадке равна 3,14 122= 450 кв. см; следовательно, на каждый кв. см. под ним приходится нагрузка 10: 450 = 22 г. Площадь круга во второй кадке 800 кв. см, и нагрузка составляет 16: 800 = 20 г. В первой кадке капуста сдавлена сильнее.

46. Чтобы горячий чай скорее охладился, его переливают в блюдце. Во сколько раз увеличивается при этом свободная поверхность жидкости? Диаметр стакана примите равным 7 см, блюдца – 16 см.

Р е ш е н и е. Площади кругов относятся как квадраты диаметров (почему)?. Следовательно, поверхность жидкости увеличивается в отношении 162: 72, т. е. в 5 раз.

Представим себе, что прямоугольник ABCD (черт. 108) вращается вокруг стороны АВ , как дверь на петлях. При полном повороте этот прямоугольник словно вырежет из пространства тело, которое называется ц и л и н д р о м. С цилиндрами мы встречаемся в практической жизни довольно часто: бревна, круглые карандаши, валики, трубы, монеты и т. п. имеют форму, более или менее близкую к цилиндру.

Чтобы изготовить цилиндр (его «модель») из бумаги, поступают следующим образом. Прежде всего чертят на бумаге два «основания» цилиндра, т. е. два одинаковых круга, диаметры которых равны поперечнику будущей модели. Затем чертят прямоугольник, высота которого равна высоте цилиндра, а длина – длине окружности основания. Такой чертеж называется р а з в е р т к о й цилиндра (края прямоугольника снабжаются полоской и зубчиками для удобства склеивания).