Чарльз Мостеллер - Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями

Вместо того, чтобы бросать точки на единичный отрезок, будем бросать их на окружность единичной длины. При этом вместо трех точек используем четыре, причем четвертую точку обозначим через z (рис. 15).

Рис. 15. Четыре точки на единичной окружности.

Таким образом, точки x , y и w , как и раньше, размещены на единичном интервале, у которого, однако, случайные концы. В силу равноправности всех четырех точек длины дуг ( z , x ), ( x , y ), ( y , w ) и ( w , z ) имеют одно и то же распределение. Если процесс бросания производится несколько раз, и при каждом бросании вычисляется длина дуги от точки z до следующей против часовой стрелки, от этой — так же до следующей и т. д., то имеет смысл говорить о распределении длин этих дуг, причем для всех дуг это распределение одинаково.

Разрывая окружность в точке z и разворачивая ее в отрезок, видим, что бросание четырех течек на окружность, одна из которых используется как начало отсчета, эквивалентна бросанию трех точек на единичный интервал.

Мы не дадим здесь строгого доказательства, хотя читатель, быть может, и не вполне убежден предыдущими рассуждениями. Верен общий принцип симметрии:

Принцип симметрии. При бросании n точек наудачу на отрезок, распределение длин n + 1 получающихся при этом отрезков одинаково.

В предположении того, что трубка разбивается случайно, из принципа симметрии выводим, что распределение длины каждой части с красной меткой, средней и с синей меткой одинаково и, значит, равны и их математические ожидания. Так как сумма этих величин постоянна и равна 9 см , то средняя длина куска трубки с красной меткой равна 3 см .

Естественно считать, что принцип симметрии сохраняется и для дискретных распределений. Четыре туза делят колоду на 5 частей, каждая из которых содержит от 0 до 48 карт. Если два туза лежат подряд, то будем говорить, что длина соответствующего куска колоды равна нулю. Аналогично нулевую длину имеют части колоды, которые находятся до первого туза, если он лежит сверху, и за четвертым тузом, если он является последней картой в колоде. Согласно принципу симметрии средняя длина каждой части равна 48/5 = 9.6. Последующей картой должен быть туз, который является, таким образом, в среднем 10.6 картой.

Хотя на поставленные вопросы вряд ли можно дать «правильный» ответ, все же возможно разумное объяснение этих задач. Например, согласно принципу симметрии, если на отрезок бросается одна точка, то в среднем два полученных отрезка имеют одинаковую длину, так что в пункте (а) ответ равен 119, так как длина левого промежутка равна 59, 2·59 = 118 и 118 + 1 = 119.

Аналогично в пункте (б) можно предположить, что пять наблюденных номеров разбивают весь отрезок на шесть равных частей. Так как 60 − 5 = 55, то средняя длина первых пяти отрезков равна 11, и общее число номеров может быть оценено как 60 + 11 = 71 (рис. 16). Конечно, оценка не может быть абсолютно точной при многократном употреблении.

Рис. 16.

Указанный метод заставляет думать, однако, что в среднем при многократном использовании такие оценки мало отличаются от истинного значения N при большом числе наблюдений. Если неизвестное число N подлежит оценке во многих задачах, то, следуя каждый раз приведенному методу (извлечь выборку, построить оценку), мы в среднем будем близки к истинному значению при достаточно больших объемах выборок.

С другой стороны, может быть и так, что вас не интересует приближение в среднем или недоступно большое число наблюдений, но вы хотите угадать значение N , несмотря на то, что это маловероятно. Тогда разумно оценить N как наблюденный максимум из номеров. Если вы, например, знаете номера двух локомотивов, то вероятность того, что один из двух номеров — максимально возможный, равна или 2/N.

Иногда пользуются методом доверительного оценивания, при котором в качестве оценки предлагается некоторый интервал для неизвестного параметра. Ограничимся случаем одного наблюдения. Если наудачу извлечь один из номеров 1, 2, ..., N , то вероятность появления каждого номера равна 1/ N . Поэтому вероятность того, что наш номер принадлежит некоторому множеству, равна числу элементов этого множества, деленному на N . Так, если, скажем, n — это случайный номер, а N — четное число, то P ( n > N /2) = 1/2, для нечетных значений N эта вероятность несколько больше. Таким образом, если n случайно, то вероятность события n > N /2 не меньше 1/2. Если мы наблюдаем значение n , а N не известно, то в качестве верхней границы для N мы можем предложить 2 n . В каждом отдельном случае утверждение 2 n > N верно или нет, однако, оно справедливо более, чем в половине случаев. Если желать увеличения процента правильных высказываний, то надо изменить доверительный предел.