Е. Миркес - Учебное пособие по курсу «Нейроинформатика»

Нелинейный сигмоидный преобразователь, как и любой другой нелинейный преобразователь, имеющий один входной сигнал x , имеет константу Липшица равную максимуму модуля производной:

(12)

Для адаптивного сумматора на n входов оценка константы Липшица, получаемая через представление его в виде суперпозиции слоя синапсов и простого сумматора, вычисляется следующим образом. Используя формулу (7) для синапсов и правило (5) для вектор-функции получаем следующую оценку константы Липшица слоя синапсов:

.

Используя правило (4) для суперпозиции функций и оценку константы Липшица для простого сумматора (10) получаем:

Λ A ≤ Λ ΣΛ L = √ n ||α||. (13)

Однако, если оценить константу Липшица адаптивного сумматора напрямую, то, используя (6) и тот факт, что при фиксированных длинах векторов скалярное произведение достигает максимума для сонаправленных векторов получаем:

(14)

Очевидно, что оценка (14) точнее, чем оценка (13).

Рассмотрим слоистую сигмоидную сеть со следующими свойствами:

1. Число входных сигналов — n 0.

2. Число нейронов в i- м слое — n i .

3. Каждый нейрон первого слоя получает все входные сигналы, а каждый нейрон любого другого слоя получает сигналы всех нейронов предыдущего слоя.

4. Все нейроны всех слоев имеют вид, приведенный на рис. 1 и имеют одинаковую характеристику.

5. Все синаптические веса ограничены по модулю единицей.

6. В сети m слоев.

В этом случае, учитывая формулы (4), (5), (12) и (14) константу Липшица i- го слоя можно оценить следующей величиной:

Используя формулу (4) получаем оценку константы Липшица всей сети:

Если используется нейроны типа S 1, то Λ P = c и оценка константы Липшица сети равна:

Для нейронов типа S 2 , то Λ P =1/- и оценка константы Липшица сети равна:

Обе формулы подтверждают экспериментально установленный факт, что чем круче характеристическая функция нейрона, тем более сложные функции (функции с большей константой Липшица) может аппроксимировать сеть с такими нейронами.

При обучении нейронных сетей иногда возникают ситуации, когда дальнейшее обучение нейронной сети невозможно. В этом случае необходимо проанализировать причины. Возможно несколько видов анализа. Одной из возможных причин является высокая сложность задачи, определяемая как выборочная оценка константы Липшица.

Для упрощения задачи необходимо уменьшить выборочную оценку константы Липшица. Наиболее простой способ добиться этого — увеличить расстояние между входными сигналами. Рассмотрим пару примеров — x i , xj — таких, что

Определим среди координат векторов x i и x j координату, в которой достигает минимума величина | x i l-x j l |, исключив из рассмотрения совпадающие координаты. Очевидно, что эта координата является «узким местом», определяющим сложность задачи. Следовательно, для уменьшения сложности задачи требуется увеличить расстояние между векторами x i и x j , а наиболее перспективной координатой для этого является l- я. Однако увеличение расстояние между x i l и x j l не всегда осмыслено. Дело в том, что все параметры, как правило, измеряются с конечной точностью. Поэтому, если величина | x i l-x j l | меньше чем точность измерения l- го параметра, значения x i l и x j l можно считать совпадающими. Таким образом, для изменения масштаба надо выбирать тот из входных параметров, для которого значение | x i l-x j l | минимально, но превышает точность измерения этого параметра.

Таблица 7. Кодирование параметра после разбиения на два сигнала

Предположим, что все входные параметры предобработаны в соответствии с формулой (1). Перенумеруем примеры обучающего множества так, чтобы были верны следующие неравенства: x l 1< x l 2<,…, x l N , где N — число примеров в обучающем множестве. При этом, возможно, придется исключить ряд пар параметр-ответ с совпадающими значениями параметра. Если в какой-либо из таких пар значения ответов различаются, то это снижает возможную полезность данной процедуры.

Наиболее простой путь — разбить диапазон l- го параметра на два. Зададимся точкой x . Будем кодировать l- й параметр двумя входными сигналами в соответствии с табл. 7. При таком кодировании критерий Липшица, очевидно, уменьшится. Вопрос о выборе точки x может решаться по-разному. Простейший путь — положить x =( a-b )/2. Более сложный, но часто более эффективный — подбор x исходя из требования минимальности критерия Липшица.