О. ОРЕ - Приглашение в теорию чисел

Здесь есть возможность читать онлайн «О. ОРЕ - Приглашение в теорию чисел» весь текст электронной книги совершенно бесплатно (целиком полную версию без сокращений). В некоторых случаях можно слушать аудио, скачать через торрент в формате fb2 и присутствует краткое содержание. Город: Москва, Год выпуска: 1980, Издательство: Наука Главная редакция физико-математической литературы, Жанр: Математика, Прочая научная литература, на русском языке. Описание произведения, (предисловие) а так же отзывы посетителей доступны на портале библиотеки ЛибКат.

Приглашение в теорию чисел: краткое содержание, описание и аннотация

Предлагаем к чтению аннотацию, описание, краткое содержание или предисловие (зависит от того, что написал сам автор книги «Приглашение в теорию чисел»). Если вы не нашли необходимую информацию о книге — напишите в комментариях, мы постараемся отыскать её.

Книга известного норвежского математика О. Оре раскрывает красоту математики на примере одного из ее старейших разделов — теории чисел. Изложение основ теории чисел в книге во многом нетрадиционно. Наряду с теорией сравнении, сведениями о системах счисления, в ней содержатся рассказы о магических квадратах, о решении арифметических ребусов и т. д. Большим достоинством книги является то, что автор при каждом удобном случае указывает на возможности практического применения изложенных результатов, а также знакомит читателя с современным состоянием теории чисел и задачами, ещё не получившими окончательного решения.

Приглашение в теорию чисел — читать онлайн бесплатно полную книгу (весь текст) целиком

Ниже представлен текст книги, разбитый по страницам. Система сохранения места последней прочитанной страницы, позволяет с удобством читать онлайн бесплатно книгу «Приглашение в теорию чисел», без необходимости каждый раз заново искать на чём Вы остановились. Поставьте закладку, и сможете в любой момент перейти на страницу, на которой закончили чтение.

Тёмная тема
Сбросить

Интервал:

Закладка:

Сделать

и мы находим d 1968= 5 ≡ d + 2 (mod 7).

Это даст нам, что d 1600= 3, следовательно, 1 марта 1600 года было средой. Когда мы вставим полученное значение в (8.2.7). мы придем к формуле

d N = 3 — 2 с + Y + [1/4 с ] + [1/4 Y ] (mod 7) (8.2.8)

для номера дня недели 1 марта N -го года.

Вторым этапом будет определение количества дней по модулю 7 от 1 марта до произвольно взятого дня этого года. Так как количество дней в месяце

меняется, то для этого требуется некоторая хитрость. Начнем с нахождения количества дней, которые нужно прибавить к номеру дня 1 марта, чтобы получить номер дня 1 числа любого другого месяца по модулю 7.

Так как в марте 31 день, то для получения номера 1 апреля нужно добавить 3, для получения номера 1 мая мы должны добавить 3 + 2 дней, так как в апреле 30 дней. Продолжая рассмотрение для последующих месяцев, мы получаем добавочные слагаемые в виде следующей таблицы:

§ 3. Расписания соревнований

В качестве другого простого применения теории сравнений можно рассмотреть составление расписаний соревнований, проходящих по круговой системе, подобных тем, которые составляются во всех видах соревнований от шахмат до футбола.

Обозначим количество участников (или команд) через N . Если число N — нечетное, то в каждом туре соревнований невозможно разбить все команды на пары — каждый раз одна из команд будет свободна от игры. Мы можем обойти эту трудность, добавив фиктивную команду T 0и составляя расписание для (N + 1)-й команды, включая команду Т 0. В каждом туре команда, которой выпадает играть с командой Т 0, будет свободна от игры.

Из сказанного следует, что можно считать количество команд N четным числом. Каждой команде мы сопоставим число

х = 1, 2…, N—1, N.

Общее количество туров, которое должна сыграть каждая команда, равно N — 1.

Предположим теперь, что х принадлежит множеству {1, 2…, N-1}. (8.3.1)

В качестве противника команды х в r -м туре мы назначим команду с номером у , из множества (8.3.1), где число y r удовлетворяет сравнению

x + y rr (mod ( N — 1)). (8.3.2)

Чтобы увидеть, что при этом разные команды х имеют разных противников, заметим, что сравнение

x + y rrx' + y r (mod (N — 1))

означает, что

xx' (mod (N — 1))

или х = x' , так как эти числа принадлежат множеству (8.3.1).

Единственная сложность возникает в том случае, когда х = y r , и таким образом в формуле (8.3.2) получаем

2 xr (mod (N — 1)). (8.3.3)

Существует лишь одно значение х во множестве (8.3.1), для которого выполняется это соотношение. Действительно, если

2 xr ≡ 2 x' (mod (N — 1)),

то отсюда следует, что

2( x — x' ) ≡ 0 (mod (N — 1)),

или

х = х' (mod (N — 1)),

так как N — 1 — нечетное число. Решение сравнения (8.3.3) на множестве (8.3.1) всегда существует, а именно:

x = r /2, если r — четное,

x = ( r + N — 1) / 2, если r —нечетное.

С помощью соотношения (8.3.2) мы приписали в r -м туре для каждой команды х ее противника, за исключением номера х 0, который удовлетворяет условию (8.3.3). Команда х 0в этом туре будет встречаться с командой, имеющей номер N .

Осталось показать, что в результате такого подбора любая команда в каждом туре r = 1, 2…, N играет с различным противником. Сначала мы удостоверимся в этом для команды с номером N , имеющей в некотором смысле особое положение. В r -м туре она играет с командой х 0, определяемой из соотношения (8.3.3). Предположим, что sr ; тогда в s -м туре N -я команда играет с командой, имеющей номер x' 0, удовлетворяющий соотношению

2 x' 0s (mod (N — 1)).

При этом не может случиться, что х 0= х' , так как это привело бы к тому, что

2 х 0= 2 х' 0≡ rs (mod (N — 1))

и, следовательно, r = s .

Теперь рассмотрим различных противников команды х , принадлежащей множеству (8.3.1). С командой, имеющей номер N , эта команда играет только один раз, а именно в туре r 0, где r 0определяется из сравнения

2 xr 0(mod( N — 1)).

Предположим теперь, что rrsr 0. Тогда противники команды х в r -м и s -м турах будут определяться из соотношения (8.3.2):

х + у rr (mod (N—1)) и х + y s = s (mod ( N —1)). Вновь из равенства y r = y s будет следовать r = s , откуда мы делаем вывод, что y ry s .

Читать дальше
Тёмная тема
Сбросить

Интервал:

Закладка:

Сделать

Похожие книги на «Приглашение в теорию чисел»

Представляем Вашему вниманию похожие книги на «Приглашение в теорию чисел» списком для выбора. Мы отобрали схожую по названию и смыслу литературу в надежде предоставить читателям больше вариантов отыскать новые, интересные, ещё непрочитанные произведения.


Отзывы о книге «Приглашение в теорию чисел»

Обсуждение, отзывы о книге «Приглашение в теорию чисел» и просто собственные мнения читателей. Оставьте ваши комментарии, напишите, что Вы думаете о произведении, его смысле или главных героях. Укажите что конкретно понравилось, а что нет, и почему Вы так считаете.

x