О. ОРЕ - Приглашение в теорию чисел

Чтобы исправить положение, в 1582 году папа Григорий XIII после долгих колебаний произвел реформу календаря в странах с католическим вероисповеданием. В том году было опущено 10 дней, а именно, пятницу 5 октября стали считать пятницей 15 октября. Более того, для корректирования календаря были введены следующие григорианские правила для високосных лет.

Годы столетий

1700, 1800, 1900, 2100, 2200, 2300…,

в которых количество столетий не делится на 4, не считаются високосными годами. Оставшиеся годы столетий

1600, 2000, 2400…

продолжают считаться високосными годами. Получается очень хорошее приближение к правильной длине года, однако капельку длиннее. Было предложено не считать годы 4000, 8000… високосными вопреки григорианскому правилу; но так как этот вопрос еще открыт и не имеет отношения к ближайшему будущему, то мы не будем это принимать в нашей формуле.

Предположим теперь, что нам задана дата: d -й день в m -м месяце (где m определяется так, как было указано выше), в году, равном

N = c • 100 + Y , (8.2.1)

где с —количество столетий, а Y — номер года в столетии. Тогда можно доказать, что наш номер дня недели определяется при помощи сравнения

W ≡ d + [1/5 (13 m -1)] + Y + [1/4 Y ] + [1/4 c ] — 2 с (mod 7). (8.2.2)

Квадратные скобки, фигурирующие в этой формуле, были введены в § 3 главы 4 для обозначения наибольшего целого числа, не превосходящего числа, стоящего внутри этих скобок.

Пример.День Пирл-Харбора [12] День нападения японского флота на американскую военную базу Пирл-Харбор, начало войны США и Японии. ( Прим. перев .) , 7 декабря 1941 г. Здесь

d = 7, m = 10, с = 19, Y = 41,

так что

W = 7 + 25 + 41 + 10 + 4 — 38 ≡ 0 (mod 7).

т. е. это было в воскресенье.

Пример. Каким днем недели будет 1 января 2000 года? Здесь

d = 1, m = 11, с = 19, Y = 99

и

W = 1 + 28 + 1 + 3 + 4 — 38 ≡ 6 (mod 7);

таким образом, первый день следующего столетия [13] Это распространенная ошибка. Первым днем следующего столетия будет 1 января 2001 года, который будет понедельником. ( Прим. перев .) будет субботой.

При пользовании этой формулой следует помнить, что ее нельзя применять для того периода, когда еще не был введен григорианский календарь. В Англии и английских колониях он был введен в 1752 году, при этом из календаря было опущено одиннадцать дней: 3 сентября стали считать 14 сентября по новому стилю [14] У нас переход на григорианский календарь произошел в 1918 году; вместо 1 февраля старого стиля стали считать 14 февраля нового стиля. ( Прим. перев .) .

Оставшаяся часть этого параграфа предназначена для тех, кто хотел бы познакомиться с выводом формулы (8.2.2). Вывод формулы проведем в два этапа. Во-первых, определим номер дня недели для 1 марта произвольного N -го года в формуле (8.2.1). Начнем отсчет от некоторого года, скажем, от 1600-го, и обозначим номер дня недели для 1 марта этого года через d 1600. Можно было бы узнать номер этого дня из архивных документов, но можно обойтись и без этого, а получить его, как результат рассуждений.

Если бы не было високосных лет, то мы могли бы найти d N — номер дня недели 1 марта N -то года, просто добавляя по одному дню к d 1600для каждого из прошедших лет. Это дает число

d 1600+ (100 с + Y — 1600) (mod 7). (8.2.3)

Принимая во внимание високосные годы и предполагая, что они следуют регулярно каждый четвертый год, мы должны прибавить к первому выражению еще следующее:

[1/4 (100 с + Y — 1600)] = 25 с — 400 + [1/4 Y ]. (8.2.4)

Однако это чуть больше, чем нужно, потому что год окончания каждого столетия обычно не бывает високосным, и ввиду этого мы должны вычесть число

с —16. (8.2.5)

Но мы должны еще учесть следующее исключение: если с — номер столетия, делится на четыре, то год 100 с считается високосным. Таким образом, нужно добавить последнюю поправку

[1/4 ( с -16)] = [1/4 с ] — 4. (8.2.6)

Теперь мы сложим выражение (8.2.3) и (8.2.4), вычтем (8.2.5) и прибавим (8.2.6). Это даст нам номер дня недели 1 марта N -гo года в виде выражения

d N ≡ d 1600+ 124 с + Y — 1988 + [1/4 с ] + [1/4 Y ] (mod 7).

Чтобы упростить его, мы приводим числа по модулю 7 и таким образом получаем

d N ≡ d 1600— 2 с + Y + [1/4 с ] + [1/4 Y ] (mod 7). (8.2.7)

Применим эту формулу к 1968 году, в котором 1 марта падает на пятницу, следовательно, d 1968= 5.

Здесь с = 19, [1/4 c ] = 4, Y = 68, [1/4 Y ] = 17,