Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

Из аксиом с помощью рассуждений выводятся заключения. Существует много типов рассуждений, например рассуждения по индукции, по аналогии и дедукции. Правильность заключения гарантирует лишь один из многих типов рассуждений. Заключение «Все яблоки красные», сделанное на основании того, что тысяча просмотренных яблок оказались красными, индуктивно и поэтому не абсолютно надежно. Заключение «Джон сможет окончить этот колледж», сделанное потому, что брат Джона, унаследовавший от родителей те же способности, окончил колледж, получено с помощью рассуждения по аналогии и заведомо не надежно. С другой стороны, дедуктивное рассуждение, несмотря на множество различных форм, гарантирует истинность заключения. Так, допуская, что все люди смертны и Сократ — человек, следует прийти к заключению, что Сократ смертен. Используемое в этом рассуждении правило логики является одной из форм суждения, которое Аристотель назвал силлогистическим выводом. К правилам дедуктивного рассуждения Аристотель относил также закон противоречия(никакое высказывание не может быть одновременно истинным и ложным) и закон исключенного третьего(любое высказывание должно быть либо истинным, либо ложным).

Аристотель, а вслед за ним и весь мир приняли за неоспоримую истину, что применение правил дедуктивного вывода к любым посылкам гарантирует получение заключений, не уступающих по надежности посылкам. Иначе говоря, если посылки истинны, то истинны и заключения. Следует отметить, в особенности для обсуждения в дальнейшем, что Аристотель абстрагировал правила дедуктивной логики из рассуждений, которыми тогда уже широко пользовались математики. {8}Дедуктивная логика — дитя математики.

Хотя почти все греческие философы считали дедуктивный вывод единственно надежным методом получения истины, Платон придерживался несколько иных взглядов. Не выдвигая возражений против дедуктивного доказательства, Платон тем не менее считал его поверхностным, поскольку математические аксиомы и теоремы существуют в некотором объективном, независимом от человека мире, и в соответствии с учением Платона об анамнезисе человеку необходимо лишь вспомнить эти аксиомы, чтобы сразу же распознать их неоспоримую истинность. Теоремы, если воспользоваться сравнением из диалога Платона «Теэтет», подобны птицам в птичнике. Они существуют сами по себе, и необходимо лишь «схватить» их. В диалоге Платона «Менон» Сократ с помощью искусно поставленных вопросов вытягивает из молодого раба утверждение, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больше площади квадрата, построенного на любом из катетов. Сократ торжествующе заключает, что искусно поставленные вопросы помогли рабу, никогда не изучавшему геометрию, вспомнить теорему.

Важно правильно оценивать, сколь радикальной была приверженность дедуктивному доказательству. Предположим, что некий ученый, измерив сумму углов ста различных треугольников, отличающихся расположением, размерами и формой, обнаружил, что в пределах точности измерений сумма углов всегда оказывается равной 180°. Разумеется, ученый решил бы, что сумма углов любого треугольника равна 180°. Но его доказательство было бы индуктивным, а не дедуктивным — и поэтому неприемлемым с точки зрения математики. Он мог бы точно так же проверить сколько угодно четных чисел и убедиться, что каждое из них представимо в виде суммы двух простых чисел. Но подобная проверка не является дедуктивным доказательством, и ее результат не сочли бы за математическую теорему. Итак, мы видим, что дедуктивность доказательства — требование весьма ограничивающее. Тем не менее греческие математики, бывшие в большинстве своем философами, упорно настаивали на исключительном использовании дедуктивных рассуждений, так как именно дедукция приводит к абсолютным истинам, к вечным ценностям.

Предпочтение, отдаваемое философами дедуктивным рассуждениям, обусловлено еще одной причиной. Философов интересуют лишь самые общие факты, касающиеся человека и физического мира, а чтобы установить такие универсальные истины, как то, что человек по существу добр, что в мире царит порядок или что человеку есть ради чего жить, дедуктивный вывод из подходящих исходных принципов осуществим в гораздо большей мере, чем индукция или рассуждение по аналогии.

Еще одну причину того, что греки классического периода отдавали предпочтение дедукции, можно усмотреть в организации их общества. Философией, математикой и искусством, естественно, увлекались прежде всего состоятельные люди, а не те, кто занимался физическим трудом. Все домашнее и общественное хозяйство держалось на рабах, метеках (свободных людях, не имевших, однако, гражданских прав) {9}и на свободных гражданах — ремесленниках; они же представляли все важнейшие профессии. Образованные свободные граждане не занимались физическим трудом и редко участвовали в торговых сделках. Платон провозгласил, что профессия лавочника недостойна свободнорожденного, и предложил подвергать наказанию всякого гражданина, который унизит себя подобным занятием, как совершившего преступление. Аристотель утверждал, что в идеальном государстве ни один гражданин (в отличие от рабов) не должен заниматься никаким ремеслом. Беотийцы (одно из греческих племен) запрещали тем, кто запятнал себя участием в торговых сделках, в течение десяти лет занимать общественные должности. В таком обществе эксперимент и наблюдение были мыслителям чужды. Считалось, что источники такого рода не могут помочь получить результаты научного, в частности математического, характера.