Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Для понимания физической линии в исследовании Гипотезы Римана, генезис которой будет описан в разделе VI и которая открыла исследователям новые обширные территории, следует обратиться к другой алгебраической теме — теории операторов . Поэтому данный раздел, как и следующий, посвящен рассказу об операторах, рассматриваемых с точки зрения связанной с ними теории матриц.

В современной математике и физике матрицы вездесущи, и способность управляться с ними относится к числу основных математических навыков. Из-за ограничений в объеме мне придется спрямить историю, приведя лишь самое необходимое. В частности, я вообще обойду стороной вопрос о вырожденных матрицах, как если бы таких в природе не было. Это, должно быть, самое возмутительное упрощение во всей книге, и я приношу свои извинения математически подкованным читателям.

Матрица — это квадратная таблица из чисел, например . Целые числа выбраны здесь исключительно для простоты. Числа, входящие в матрицу, могут быть рациональными, вещественными или даже комплексными. Данная конкретная матрица — это матрица 2×2. Матрицы могут быть любого размера, скажем, 3×3, 4×4, 120×120 и т.д. Они могут иметь даже бесконечный размер, хотя для бесконечных матриц правила и подвергаются некоторой модификации. Важная часть во всякой матрице — это ее главная диагональ , т.е. диагональ, ведущая из левого верхнего угла в правый нижний. В нашем примере на главной диагонали стоят элементы 5 и 6.

Если даны две матрицы одного и того же размера, то их можно складывать, вычитать, умножать и делить. Правила, по которым выполняются эти действия, не сразу очевидны. Например, если A и B — две матрицы одного и того же размера, то, вообще говоря, не верно, что А×В = В×А. Правила обращения с матрицами несложно найти в любом обычном учебнике по алгебре, и нам нет нужды вдаваться в них. Достаточно сказать, что такие правила существуют и что имеется арифметика матриц, в целом напоминающая арифметику обычных чисел, только похитрее.

Нам же важно знать про матрицы следующее. Из всякой матрицы (N×N) можно извлечь многочлен N- й степени — полиномиальную функцию, составленную из различных степеней буквы x , вплоть до N- й степени. Боюсь, я не могу объяснить, как же найти этот многочлен для данной матрицы. Придется поверить мне, что он действительно существует и что имеется способ его построить. Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы.

Характеристический многочлен для приведенной выше матрицы 2×2 равен x 2− 11 x + 28. [162]При каких значениях x этот многочлен равен нулю? Это все равно что спросить, каковы решения квадратного уравнения x 2− 11 x + 28. По хорошо известной формуле (или, как оптимистически говаривал мой школьный учитель, «путем усмотрения») находим, что решения — это 4 и 7. Ну и правда, если подставить 4 вместо x , то значением многочлена будет 16 − 44 + 28, что в самом деле равно нулю. То же самое и с подстановкой числа 7: 49 − 77 + 28 тоже равно нулю.

Эти факты служат иллюстрацией ситуации, которая верна в общем случае. Всякая (N×N)- матрица имеет характеристический многочлен степени N , и этот многочлен имеет N нулей. [163]Нули характеристического многочлена матрицы невероятно важны. Они называются собственными значениями матрицы. Заметим еще одно. Если сложить числа на главной диагонали нашей (2×2)-матрицы, то получится 11 (поскольку 5 + 6 = 11). Такова же и сумма собственных значений (7 + 4 = 11); и это число противоположно первому из чисел, которые встречаются в характеристическом многочлене ( − 11 и 11 противоположны). Это очень важное число, называемое следом матрицы.

Характеристический многочлен, собственные значения, след — для чего все это? Видите ли, важность матриц не в них самих, а в том, что они представляют. Матричная арифметика, коль скоро вы ею овладели, — это просто набор технических навыков, как и в обычной арифметике. Но подобно тому, как обычные числа можно использовать для выражения гораздо более глубоких, более фундаментальных вещей, так же используются и матрицы. Прогулка от моего дома до Хантингтон-Вилидж занимает у меня 12 минут; расстояние составляет приблизительно 0,8 мили. Если начиная с завтрашнего утра Соединенные Штаты перейдут на метрическую систему, мне придется говорить «приблизительно 1,3 километра», а не «приблизительно 0,8 мили». Расстояние, однако, от этого не изменится; только числа, используемые для его выражения, пришлось бы изменить. Я по-прежнему проходил бы это расстояние за 12 минут (если только не состоится еще и переход к метрическим единицам времени).