Генри Дьюдени - Пятьсот двадцать головоломок

106. Легкое деление.Разделив число 8 101 265 822 784 на 8, вы убедитесь, что ответ можно получить, просто переставив 8 из начала в конец числа!

Не могли бы вы найти число, начинающееся с 7, которое можно разделить на 7 столь же простым способом?

107. Недоразумение.Один американский читатель попросил меня найти число, составленное из любого количества цифр, для которого деление на 2 можно выполнить, переставив последнюю цифру в начало. По-видимому, эта задача возникла у него после того, как он познакомился с неправильно сформулированной предыдущей задачей. Если бы требовалось переставить в конец первую цифру, то ответом служило бы число 315 789 473 684 210 526, а отсюда легко было бы найти решение, начинающееся с любой цифры. Но если требуется переставить цифру из конца в начало, то для делителя 2 решения нет. Однако существует решение для делителя 3. Не могли бы вы его найти?

108. Две четверки.Меня постоянно спрашивают о старой головоломке «Четыре четверки». Я опубликовал ее в 1899 г., но потом выяснил, что впервые она была опубликована в первом томе журнала Knowlege за 1881 г. С тех пор к ней обращались различные авторы. Формулируется головоломка так: «Найти все возможные числа, которые можно получить из четырех четверок (не больше и не меньше) с помощью различных арифметических знаков. Например, число 17 можно представить в виде 4 × 4 + 4/4, число 50 — в виде 44 + 4 + и т. д. Аналогичным образом можно записать все числа до 112 включительно, используя лишь знаки сложения, вычитания, умножения, деления, квадратного корня, десятичной точки [7] В странах английского языка вместо привычной для нас десятичной запятой применяется десятичная точка. Причем, если целая часть числа равна нулю, то этот нуль иногда опускается, например, пишут не 0,5 а .5. — Прим. перев. и знака факториала (например, можно писать 4!, что означает всего лишь 1 × 2 × 3 × 4, или 24). Число 113 уже нельзя представить в виде комбинации четырех четверок.

Необходимо выяснить, какие числа можно записать с помощью одной, двух и трех четверок. Большие трудности возникают из-за того, что некоторые числа нелегко поддаются такому представлению. Например, мне кажется, что лишь очень немногие смогут выразить 64 с помощью двух четверок. Сумеет ли это сделать читатель?

109. Две цифры.Напишите любое двузначное число (две различные цифры, отличные от нуля), а затем выразите его, используя те же цифры, взятые в обратном порядке (в случае необходимости разрешается использовать знаки арифметических действий). Например, число 45 = 5 × 9 подошло бы, если бы вместо 9 справа стояла цифра 4, а число 81 = (1 + 8) 2могло бы служить решением задачи, если бы справа в показателе степени не появилась цифра 2.

110. Цифровые совпадения.Если я перемножу две девятки и сложу 9 и 9, то получу 81 и 18 — два числа, состоящие из одинаковых цифр. Если я перемножу и сложу 2 и 47, то получу 94 и 49 — числа с одинаковыми цифрами, Если я перемножу и сложу 3 и 24, то получу 72 и 27 — два числа, состоящие из одинаковых цифр.

Можете ли вы найти два числа, перемножив и сложив которые вы получили бы два новых числа с тремя одинаковыми цифрами? Задача имеет два решения.

111. Квадраты-палиндромы.Вот любопытный предмет для исследований: найти квадраты целых чисел, которые можно читать как обычным образом, так и справа налево. Некоторые из них найти очень легко. Например, квадраты чисел 1, 11, 111 и 1111 равны соответственно 1, 121, 12 321 и 1 234 321. Все получившиеся числа — палиндромы, и данное правило применимо к любому числу единиц, не превосходящему 9. Однако существуют и другие случаи, которые мы могли бы назвать нерегулярными. Например, 264 2= 69 696, а 2285 2= 5 221 225.

Во всех приведенных выше примерах число цифр было нечетным. Не мог бы читатель привести примеры с четным числом цифр?

112. Разложение на множители.На какие множители разлагается число 1 000 000 000 001? На этот вопрос легко ответить, зная кое-что о числах такого частного вида. Не менее легко указать два сомножителя, если между двумя единицами вставить не 11 нулей, а, например, 101 нуль,

Существует одно любопытное простое и красивое правило для всех подобных случаев. Не сумеете ли вы найти его?

113. Два множителя.Найдите два целых числа, разность между которыми минимальна, а их произведение равно 1 234 567 890.

114. Деление на 11.Если девять цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 записаны в случайном порядке, например 412 539 768, то какова вероятность того, что получившееся число делится на 11? То число, которое я выписал, конечно, не делится на 11, но если в нем поменять местами 1 и 8, то оно будет делиться на 11.