Генри Дьюдени - Пятьсот двадцать головоломок

382. На рисунке приведено одно решение с нечетными и четными числами.

383. Назовем ABCDE «пятиугольником», a F , G , H , J , K «вершинами» ( I ). Запишем в пятиугольнике числа 1, 2, 3, 4, 5, как показано на рисунке II (мы начинаем с 1 и движемся по часовой стрелке, перескакивая каждый раз через один кружок). Чтобы заполнить звезду с суммой 24, воспользуйтесь следующим простым правилом. Найти H можно, вычитая сумму B и C из половины данной постоянной (24) и прибавляя E . Другими словами, надо 6 вычесть из 15, при этом получится искомое значение H , равное 9. Затем можно вписать в кружок F число 10 (чтобы сумма оказалась равной 24), вписать 6 в J , 12 в G и 8 в K . Решение получено.

Вы можете вписать в пятиугольник любые 6 чисел в любом порядке и с произвольной постоянной суммирования. В каждом случае вы получите с помощью указанного правила единственно возможное решение для данных пятиугольника и постоянной. Однако в этом решении могут встретиться повторяющиеся или даже отрицательные числа. Допустим, например, что я задал пятиугольник 1, 3, 11, 7, 4 и постоянную 26 (см. рисунок III ). Тогда видно, что 3 повторяется, а добавочное число 4 отрицательно и практически его приходится вычитать, а не прибавлять. Вы можете также заметить, что если бы в случае II мы заполнили пятиугольник теми же числами, но в другом порядке, то получили бы при этом повторяющиеся числа.

Ограничимся случаем десяти различных положительных целых чисел. Тогда 24 будет наименьшей возможной постоянной. Решение с любой большей постоянной можно получить из данного. Так, если мы хотим взять постоянную, равную 26, то достаточно добавить в вершины по 1. Если мы хотим взять постоянную 28, то в каждую вершину следует добавить по 2 или по 1 во все кружки. Для нечетных постоянных решений не существует, если мы не допускаем дроби. Каждое решение можно «вывернуть наизнанку». Так, рисунок IV — модификация рисунка II . Аналогично четыре числа в G , K , D , J можно всегда изменить, если нет повторений, например вместо чисел 12, 8, 5, 6 на рисунке II подставить числа 13, 7, 6, 5. Наконец, в любом решении постоянная равна ⅖ суммы всех десяти чисел. Поэтому если задано множество чисел, то мы можем определить постоянную, а по заданной постоянной найти сумму всех нужных чисел.

384. За недостатком места я не смогу здесь привести полное решение этой интересной задачи, но укажу читателю основные моменты.

1. При любом решении сумма чисел в треугольнике ABC (см. рисунок I ) должна совпадать с суммой чисел в треугольнике DEF . Эта сумма может равняться любому числу от 12 до 27 включительно, кроме 14 и 25. Нам нужно получить решения лишь для случаев 12, 13, 15, 16, 17, 18 и 19, поскольку дополнительные решения 27, 26, 24, 23, 22, 21 и 20 можно получить из них, заменяя каждое число на разность между ним и 13.

2. Каждое решение составлено из трех независимых ромбов AGHF , DKBL и EMCI , сумма чисел в каждом из которых должна равняться 26.

3. Суммы чисел в противоположных внешних треугольниках равны между собой. Так, сумма чисел в треугольнике AIK равна сумме чисел в треугольнике LMF .

4. Если разность между 26 и суммой чисел в треугольнике ABC прибавить к любому числу, стоящему в вершине, скажем A , то получится сумма двух чисел, находящихся в соответствующих положениях L и M . Так (см. рисунок II ), 10 + 13 = 11 + 12 и 6 + 13 = 8 + 11.

5. Существует 6 пар, дающих в сумме 13, а именно 12 + 1, 11 + 2, 10 + 3, 9 + 4, 8 + 5, 7 + 6, и среди вершин может оказаться 1 или 2 такие пары, но никогда не окажется 3. Относительное расположение этих пар определяет тип решения. У регулярного типа, как на рисунке II , A и F , а также G и H (что показано пунктирными линиями) в сумме всегда дают 13 (при более подробном доказательстве этот класс необходимо было бы разбить на 2 подкласса и рассматривать каждый из них в отдельности). На рисунках III и IV приведены примеры двух нерегулярных типов.

Всего существует 37 решений (или 74, если мы будем считать и дополнительные решения, упомянутые в п. 1), из которых 32 будут регулярными и 5 нерегулярными.