Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

1.12.В треугольнике ABC разность углов B и C равна π/ 2. Определите угол C , если известно, что сумма сторон b и c равна k , а высота, опущенная из вершины A , равна h .

1.13.В треугольнике ABC имеется точка O , такая, что углы ABO , ВСО и CAO равны α. Выразите ctg α через площадь треугольника и его стороны.

1.14.В треугольнике ABC дана разность φ углов A и В (φ = A − В > 0). Известно, что высота, опущенная из С на AB, равна BC − AC . Найдите углы треугольника.

1.15.Даны длины высот AA 1= h a и ВВ 1= h b треугольника ABC и длина CD = l биссектрисы угла С . Найдите угол С .

1.16.В треугольник с основанием а и противоположным углом α вписана окружность Через центр этой окружности и концы основания треугольника проведена вторая окружность Найдите ее радиус.

1.17.Докажите, что если длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию, то центр окружности, вписанной в этот треугольник, и точка пересечения его медиан лежат на прямой, параллельной средней по длине стороне треугольника.

1.18.В треугольнике ABC радиус вписанной окружности равен r , сторона BC больше r в k раз, а высота, опущенная на эту сторону, больше r в 4 раза. Найдите полупериметр p , tg A / 2и стороны b и c .

1.19.Углы С, A, В треугольника ABC образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC , K — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC , L — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC . Докажите, что треугольники ABC и OKL подобны.

1.20.В треугольнике ABC углы A , В и С образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Докажите, что

1.21.Докажите, что если P , Q , R — соответственно точки пересечения каждой из сторон BC , CA , AB (или их продолжений) треугольника ABC с некоторой прямой, то

(теорема Менелая) .

1.22.Точка D находится на стороне BC треугольника ABC. Докажите, что

AB ² · DC + AC ² · BD − AD ² · BC = BC · DC · BD

(теорема Стюарта) .

1.23.На сторонах треугольника ABC взяты точки P , Q и R так, что три прямые AP , BQ и CR пересекаются в одной точке. Докажите, что

(теорема Чевы) .

1.24.Через произвольную точку O , взятую внутри треугольника ABC , проведены прямые DE , FK , MN , параллельные соответственно AB , AC , BC , причем F и M лежат на AB , E и K — на BC , N и D — на AC . Докажите, что

1.25.Через центр O правильного треугольника ABC проведена произвольная прямая. Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин треугольника до этой прямой не зависит от выбора прямой.

1.26.Вокруг треугольника ABC , в котором а = 2, b = 3 и угол C = 60°, описана окружность. Определите радиусы окружностей, проходящих через две вершины треугольника и центр описанной окружности.

1.27.Стороны треугольника связаны соотношением а ² = c ( b + с ). Докажите, что угол A вдвое больше угла C .

1.28.Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC . Докажите, что если OA ² = OB · OC , то

1.29.Площадь , треугольника ABC удовлетворяет соотношению S = а ² − ( b − с )². Найдите угол A .

1.30.На сторонах треугольника внешним образом построены квадраты. Докажите, что расстояние между центрами квадратов, построенных на боковых сторонах, равно расстоянию от центра квадрата, построенного на основании, до противоположной вершины треугольника.