Леонард Млодинов - (Не)совершенная случайность. Как случай управляет нашей жизнью

Чтобы пояснить, каким образом центральная предельная теорема доказывает, что нормальное распределение адекватно отражает закон случайного распределения ошибки, вернемся к примеру Даниила Бернулли с лучником. Мне однажды довелось выступить в роли лучника во время вечера в приятном обществе с крепкими напитками и беседами не для детского уха: ко мне прибежал мой младший сын Николай, протянул мне лук и стрелу и начал упрашивать, чтобы я метким выстрелом сбил у него с головы яблоко. И хотя стрела была с мягким наконечником из губки, мне показалось разумным проанализировать свои возможные ошибки и оценить их вероятность. Естественно, больше всего меня беспокоили смещения по вертикали. Простая модель таких ошибок выглядит следующим образом: каждый случайный фактор (скажем, ошибка прицеливания, влияние воздушных потоков и т. п.) может с равной вероятностью сместить мой выстрел по вертикали либо вверх, либо вниз относительно мишени. Итоговая ошибка будет равна сумме всех этих ошибок. Если мне повезет, примерно половина из них сместит выстрел вверх, другая половина — вниз, и тогда я попаду точно в цель. А если мне (точнее, моему сыну) не повезет, то все ошибки подействуют в одном направлении, и в цель я не попаду, а попаду либо существенно ниже, либо существенно выше. Соответственно, мне хотелось знать, какова вероятность того, что ошибки нивелируют друг друга, или, напротив, их сумма достигнет максимального значения, или примет одно из промежуточных значений. Но это был в точности процесс Бернулли, как если бы я подбрасывал монеты и задавался при этом вопросом, с какой вероятностью у меня выпадет определенное число орлов. Ответ на этот вопрос дает треугольник Паскаля или, если попыток много, нормальное распределение. И ровно этому же посвящена центральная предельная теорема. (Кстати сказать, в итоге я не попал ни в яблоко, ни в сына, но зато сбил бокал превосходного каберне.)

К 1830-м гг. большинство ученых обрели уверенность в том, что любое измерение многосоставно, подвержено огромному числу источников отклонения, а следовательно, и закону распределения ошибок. Этот закон, наряду с центральной предельной теоремой, привел, таким образом, к новому, более глубокому пониманию получаемых данных и их отношения к физической реальности. В следующем веке эти за идеи ухватились ученые, занимающиеся исследованием человеческого общества. К своему удивлению, они обнаружили, что человеческое поведение и индивидуальные особенности нередко подчиняются тем же закономерностям, что и ошибка измерения. В связи с этим было решено расширить круг приложений закона распределения ошибок за пределы естествознания и применять его в новой науке о человеческих отношениях.

В середине 1960-х гг. во Франции некая девяностолетняя старушка, Жанна Кальмен, сильно нуждаясь в деньгах, заключила договор с сорокасемилетним адвокатом: завещала ему свою квартиру с условием пожизненной выплаты небольших ежемесячных пособий; когда же она освободит помещение, адвокат его займет {150} 150 Holland, What Are the Chances? p. 51. . Адвокат наверняка знал, что эта Жанна Кальмен уже прожила на десять лет больше среднего срока продолжительности жизни, высчитанного для Франции. Однако он мог не слышать о теории Байеса: важно не то, умрет ли старушка через десять лет или нет, а то, что ее средняя продолжительность жизни, исходя из уже прожитых девяноста лет, увеличивается на шесть лет {151} 151 Это лишь приблизительные расчеты, в основе которых лежат последние данные по американской статистике. Смотрите: U.S. Social Security Administration, 'Actuarial Publications: Period Life Table.' Наиболее свежие данные находятся по адресу: http://www.ssa.gov/OACT/STATS/table4c6.html . . Но вряд ли он думал о чем-то подобном, скорее верил: любая женщина, юной девушкой видевшая в отцовской лавке Винсента ван Гога, вскоре последует за этим самым ван Гогом на тот свет. (Любопытно, что художник показался ей человеком «неряшливым, плохо одетым и в целом неприятным».)

Прошло десять лет, и адвокат наверняка подыскал себе другое жилье, потому как старушка отпраздновала столетие в добром здравии. И хотя до собственной средней продолжительности жизни ей к тому моменту оставалось еще два года, она преспокойно дожила на денежки адвоката до ста десяти лет. К тому времени адвокату исполнилось шестьдесят семь. Однако прошло еще десять лет, прежде чем ожиданиям адвоката пришел конец, причем для него довольно неожиданный. В 1995 г. адвокат умер, а Жанна Кальмен продолжала здравствовать. И скончалась лишь 4 августа 1997 г. в возрасте ста двадцати двух лет. Разница между ее возрастом на момент смерти и возрастом адвоката на момент смерти составила сорок пять лет.