Стивен Строгац - Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

Поверхности с отверстиями и ручками имеют много локально кратчайших путей, отличающихся рисунком их переплетения вокруг различных частей поверхности. Следующий стоп-кадр из видео математика Конрада Полтье [168]из Свободного университета Берлина иллюстрирует неоднозначность этих локальных кратчайших путей, то есть геодезических линий, на поверхности придуманной планеты в форме восьмерки, которую специалисты называют тором с двумя отверстиями.

Три показанные здесь геодезические линии различной формы проходят по разным частям планеты, но их объединяет то, что они самые короткие по сравнению с близлежащими путями. И так же, как прямые линии на плоскости или большие окружности на сфере, эти геодезические линии — самые прямые из возможных кривых на поверхности. Они огибают ее, но не перегибаются сами. Чтобы пояснить это, Полтье сделал еще одно учебное видео.

Мотоцикл без водителя едет по геодезическому шоссе, повторяющему рельеф тора с двумя отверстиями. Примечательно, что руль заблокирован так, чтобы мотоцикл двигался только прямо и не мог съехать с дороги. Поэтому нет необходимости им управлять. Это усиливает уже сложившееся мнение о том, что геодезические линии, как и большие окружности на сфере, представляют собой естественное обобщение прямых линий.

После такого буйства фантазии вам, возможно, будет интересно узнать, есть ли у геодезических линий что-либо общее с реальностью. Конечно есть. Эйнштейн доказал, что, когда лучи света движутся по Вселенной, они перемещаются по геодезическим линиям. Знаменитый изгиб света звезд вокруг Солнца, обнаруженный при наблюдении солнечного затмения 1919 года, подтвердил, что свет движется по геодезическим линиям искривленного пространства-времени в соответствии с деформацией, вызванной притяжением Солнца.

На более приземленном уровне математика поиска кратчайших путей имеет решающее значение для маршрутизации трафика в интернете. Однако пространство всемирной сети, в отличие от гладких поверхностей, рассмотренных выше, — это гигантский лабиринт адресов и ссылок, а математические задачи о кратчайших путях трансформированы в задачи нахождения самых быстрых путей [169]. Учитывая множество потенциальных маршрутов, их решение было бы невозможным, если бы изобретательность математиков и компьютерщиков не упростила его.

Иногда люди используют утверждение «кратчайший путь между двумя точками — это прямая линия» в переносном смысле, подтверждая тем самым присутствие здравого смысла. Другими словами, «не усложняй без необходимости». Но преодоление пути с препятствиями способно поднять до больших высот, поэтому и в искусстве, и в математике часто стоит наложить на себя определенные ограничения. Сочиняйте хайку и сонеты или расскажите историю своей жизни всего в шести словах [170]. То же самое верно для всех направлений математики, призванных помочь вам найти кратчайший путь решения той или иной задачи, которую задает вам жизнь.

Две точки. Много путей. Математический экстаз.

Математика чванлива и самодовольна. Она, подобно главе мафиозного клана, производит впечатление особы решительной, неуступчивой и сильной. Она сделает вам такое предложение, от которого вы не сможете отказаться. [171]

Но наедине с собой математика не всегда так уверена в себе. Она колеблется. Задает себе вопросы и порой сомневается в том, что они правильные. Особенно там, где дело касается бесконечности. Бесконечность может заставить математика бодрствовать ночами, вызывая тревогу, суетливость и чувство экзистенциального ужаса. В истории математики были времена, когда спущенная с привязи бесконечность была настолько взвинчена, что появлялись опасения, что она может все перевернуть с ног на голову.

В сериале «Клан Сопрано » босс мафии Тони Сопрано, страдающий приступами панических атак и пытающийся понять, почему его мать хочет, чтобы его убили, консультируется у врача-психиатра. Под напускной жесткостью скрывается очень смущенный и напуганный человек.