Стивен Строгац - Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

Наконец, можно повернуть матрас на пол-оборота, не поднимая его с кровати.

В отличие от переворачиваний H и V , при повороте R верхняя поверхность матраса остается вверху.

Теперь посмотрим на матрас, чтобы понять, в чем разница между его переворотами. Представим себе, что он полупрозрачный, взглянем на него сверху и проверим числа в углах матраса после каждой из возможных трансформаций. При горизонтальном переворачивании получаем зеркальное отражение чисел. Они тоже изменили порядок, поскольку числа 1 и 2 и 3 и 4 поменялись местами.

При вертикальном переворачивании порядок чисел тоже изменился, но по-другому: они, помимо своего зеркального отражения, еще и перевернулись вверх тормашками.

При вращении зеркального отражения не получается, а числа повернулись кверху вниз, и там, где была 1, теперь 4, а вместо 2 появилось 3.

Однако это лишь детали. Самое главное — как эти преобразования соотносятся друг с другом. В схемах их взаимодействия зашифрована симметрия матраса.

Чтобы выявить их с минимальными усилиями, нарисуем следующую диаграмму.

В углах схемы изображены четыре возможных положения матраса. Картинка в левом верхнем углу является точкой отсчета. Стрелка указывает на движения, совершаемые матрасом при переходе из одного положения в другое.

Например, стрелка, ведущая из верхнего левого угла к нижнему правому, описывает вращение R . Она двусторонняя, поскольку, если выполнить действие R дважды, это будет равносильно возврату в исходное положение.

Данное свойство поворота можно описать уравнением RR = I , где RR означает «дважды выполнить действие R », а I является нейтральным элементом, означающим отсутствие действия. При горизонтальном и вертикальном переворачивании тоже происходит отмена этих преобразований: HH = I и VV = I .

На схеме также представлено много другой информации. Например, здесь показано, что рискованное вертикальное переворачивание V эквивалентно действию HR , горизонтальному переворачиванию, сопровождаемому поворотом. Этот путь к аналогичному результату гораздо безопаснее. Данную последовательность действий можно записать в виде уравнения HR = V [152].

Следует также отметить, что порядок выполнения действий не имеет значения, поскольку HR = RH, и оба пути ведут к V . Это верно для любой другой пары действий. Вы можете подумать, что это подобно коммутативному (переместительному) закону для сложения обычных чисел x и y , согласно которому x + y = y + x . Однако будьте внимательны: группа в примере с матрасом — особый случай. Во многих других группах коммутативный закон нарушается. Подчиняющиеся ему группы-счастливчики будут особенно понятными и простыми.

А теперь итоги. Эта схема показывает, как добиться наиболее равномерного изнашивания матраса. Любая стратегия, примененная для всех четырех состояний, будет периодически работать. Например, чередование действий R и H удобно, а поскольку у нас есть возможность миновать шаг V , то нам не требуется много физических усилий. Чтобы напомнить о необходимости выполнять эти действия, некоторые производители дают такой совет: «весной — поворот, осенью — переворот».

Группа чисел, свойственная матрасу, иногда всплывает в самых неожиданных местах, начиная от симметрии молекул воды и заканчивая принципами действия пары электрических переключателей. В этом и состоит прелесть теории групп. Благодаря ей становится очевидным единство вещей, которые в других случаях кажутся не связанными между собой — как в анекдоте о том, как физик Ричард Фейнман получил отсрочку от призыва в армию [153].