Стивен Строгац - Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

Здесь я с вами, сэр Исаак.

Господин Дикурцио был моим наставником в средней школе — хмурый и требовательный, склонный к сарказму человек, носивший скучного вида очки в черной оправе. Словом, симпатяга. Но я заметил его безумную страсть к физике.

Однажды я рассказал ему, что прочитал биографию Эйнштейна. В ней говорилось, что во время учебы в колледже Эйнштейн был сильно поражен чем-то под названием «уравнения Максвелла для электричества и магнетизма»; и я заявил, что не могу ждать, пока начну достаточно разбираться в математике, чтобы узнать, что они собой представляют.

Это произошло во время ужина в школе-интернате. За большим столом сидели еще несколько студентов, жена учителя и две его дочери; господин Дикурцио раскладывал картофельное пюре по тарелкам. При упоминании об уравнениях Максвелла он бросил ложку, схватил бумажную салфетку и начал писать на ней загадочные символы, точки и кресты, перевернутые треугольники, E и В со стрелками над ними, и вдруг, как мне показалось, он заговорил на нечеловеческом языке: «Ротор ротора — это градиент дивергенции минус квадрат дельты…»

Что за абракадабру он бормотал? Теперь-то я понимаю, что он давал объяснения в терминах векторного исчисления [108] Прекрасная возможность познакомиться с векторным исчислением и уравнениями Максвелла и, вероятно, самый лучший учебник, который я когда-либо изучал: E. M. Purcell, Electricity and Magnetism, 2 nd edition (Cambridge University Press, 2011). Еще классика: H. M. Schey, Div, Grad, Curl, and All That, 4 th edition (W. W. Norton and Company, 2005). — раздела математики, описывающего все находящиеся вокруг нас невидимые поля. Вспомните магнитное поле, поворачивающее стрелку компаса на север, гравитационное поле, притягивающее ваш стул к полу, или микроволновое поле, которое готовит ваш ужин.

Наибольшие достижения векторного исчисления лежат в том сумеречном мире, где математика сталкивается с реальностью. В самом деле, история Джеймса Максвелла и его уравнений показывает один из сверхъестественных случаев несомненной эффективности математики. Так или иначе, перетасовав несколько символов, Максвелл обнаружил, что такое свет [109] Эти слова были написаны во время празднования 150-летней годовщины книги Максвелла «О физических силовых линиях», увидевшей свет в 1861 году, см. Part III. The theory of molecular vortices applied to statical electricity, Philosophical Magazine (April and May, 1861), pp. 12–24, доступно по адресу http://en.wikisource.org/wiki/On_Physical_Lines_of_Force. Отсканированная копия оригинала представлена на http://www.vacuum-physics.com/Maxwell/maxwell_oplf.pdf. На оригинал стоит взглянуть. Кульминационная точка находится чуть ниже уравнения 137, где Максвелл, трезвый человек, не склонный к театральности, не удержался и выделил курсивом самый революционный вывод в своей работе: «Скорость поперечного волнового движения нашей гипотетической среды, вычисленная на основании электромагнитных экспериментов М. Кольрауша и Вебера, согласуется с такой точностью со скоростью света, вычисленной на основании оптических экспериментов М. Физо, что мы едва ли можем избежать вывода, что свет состоит из поперечного волнового движения той же среды, которая является причиной электрических и магнитных явлений». .

Чтобы осознать значимость его открытия и получить общее представление о векторном исчислении, давайте начнем со слова «вектор». Оно происходит от латинского корня vehere , «осуществлять», который также дает нам такие слова, как «транспортное средство» (vehicle) и «лента конвейера» (conveyor belt). Для эпидемиологов вектор является носителем возбудителя, подобно комару, передающему малярию через кровь. Для математика вектор (по крайней мере в своей простейшей форме) — это шаг, который переносит вас из одного места в другое.

Вспомните одну из схем для начинающих танцоров бальных танцев, покрытую стрелками, указывающими, как, танцуя румбу, ставить правую ногу, а затем левую:

Эти стрелки и есть векторы. Они содержат два вида данных: направление (в каком направлении переставлять ногу) и величину (на какое расстояние ее нужно переместить). Все векторы имеют такую двойственность.

Векторы, как и числа, можно складывать и вычитать, но наличие направленности делает их более сложными. Тем не менее сложение векторов становится более понятным, если вы представите его в виде инструкции по танцам. Например, что получится, если сначала вы делаете один шаг на восток, а следующий на север? Естественно, вектор, который указывает на северо-восток.