Стивен Строгац - Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

Но если разрезать конус под небольшим наклоном, то его сечение из окружности превращается в эллипс.

Чем больше угол наклона сечения, тем длиннее и тоньше пропорции эллипса. И при критическом угле, равном углу наклона образующей конуса, эллипс превращается в параболу.

Так вот в чем секрет: парабола, в очень узком смысле, замаскировалась под эллипс. Неудивительно, что и она обладает чудесной способностью эллипса фокусировать. Это свойство по наследству передается из поколения в поколение от эллипсов к параболам.

На самом деле окружности, эллипсы и параболы — члены большой дружной семьи, известной под общим названием конические сечения — кривые, полученные путем разрезания поверхности конуса плоскостью. В семействе конических сечений есть еще одна сестра: если конус разрезается очень круто, под б о льшим углом, чем угол наклона образующей конуса, то сечением станет кривая, называемая гиперболой . В отличие от всех остальных кривых, эта состоит из двух ветвей.

Эти четыре типа кривых покажутся еще более тесно связанными, если посмотреть на них с точки зрения алгебры. В алгебре они представлены в виде графиков уравнений второй степени:

Ax 2+ Bxy + Cy 2+ Dx + Ey + F = 0,

где константы A, B, C, … определяют, будет ли графиком данной функции окружность, эллипс, парабола или гипербола.

В расчетах эти кривые появляются при исследовании траекторий объектов, перемещающихся под воздействием силы тяжести. Поэтому совсем не случайно планеты солнечной системы движутся по эллиптическим орбитам с одним из фокусов в центре Солнца; кометы проходят через солнечную систему по эллиптической, параболической или гиперболической траектории; а брошенный ребенком мяч летит по параболической дуге. Все это подтверждает существование конического заговора.

Вспомните об этом, когда в следующий раз будете играть в мяч.

Друг моего отца по имени Дэйв, выйдя на пенсию, поселился в городке Юпитер во Флориде. Когда мне было лет двенадцать, мы всей семьей гостили у него, и он показал нам то, что произвело на меня неизгладимое впечатление.

Дэйву нравилось составлять график времени наступления рассветов и закатов [70] График, представленный в главе, сделан для города Юпитер (США, Флорида) в 2011 году. Для удобства время восходов и заходов Солнца фиксировалось по Североамериканскому восточному времени (часовой пояс UTC -05:00) в течение всего года, чтобы избежать искусственного перерыва, вызванного переходом на летнее время. Студентов удивляют подобные графики (например, некоторые из них ожидают увидеть кривые, похожие на треугольники, а не на округлые и гладкие кривые), что можно использовать для полезных классных занятий в старшей или средней школе. С педагогической целью см. статью A. Friedlander and T. Resnick, Sunrise, sunset, Montana Mathematics Enthusiast, Vol. 3, No. 2 (2006), рр. 249–255, которая доступна по адресу http://www.math.umt.edu/tmme/vol3no2/TMMEvol3no2_Israel_pp249_255.pdf. Вывести формулы для времени восхода и захода солнца сложно, для этого понадобятся и математика, и физика. См., например, страницу T. L. Watts’s webpage Variation in the time of sunrise на http://www.physics.rutgers.edu/~twatts/sunrise/sunrise.html. , которые он наблюдал в течение всего года. Каждый день он отмечал две точки на своем графике и после многих месяцев наблюдений заметил нечто любопытное. Эти две кривые выглядели как встречные волны. Когда одна из них поднималась, другая опускалась, а когда восход солнца наступал раньше, заходило оно позже.

Но были и исключения. В последние три недели июня, большей части декабря и в начале января время наступления восхода и захода каждый день было одинаково более поздним, что придавало волнам слегка однобокий вид.

Тем не менее закономерность в поведении кривых казалась очевидной: изменение промежутка между ними показывало увеличение или уменьшение продолжительности дня в различные времена года. Путем вычитания значений нижней кривой из значений верхней Дэйв также выяснил, как в течение года меняется продолжительность светового дня. К его удивлению, в этой кривой вообще не было однобокости. Она выглядела абсолютно симметричной.