Petri Fermat - Observationes Domini Petri de Fermat

Пусть даны два куба 64 и 125; требуется найти два других куба, сумма которых была бы равна разности данных.

Найдем методом, данным Баше при решении задачи 3 (на следующей странице) два других куба, разность которых будет равна разности двух заданных. Баше нашел их, это 15252992/250047 и 125/250047. По построению разность их равна разности двух данных кубов; но, после того как они найдены методом задачи 3, поскольку удвоенный меньший не превосходит большего, их можно взять в качестве данных задачи 1.

Таким образом, мы получим два данных куба и будем искать два других, сумма которых равна разности данных; так как условие, указанное для задачи 4, выполнено, то решение можно получить без затруднений. Но разность кубов, найденных путем решения задачи 3, равна разности двух первоначально заданных кубов 64 и 125; итак, ничто не мешает построить два куба, сумма которых равна разности данных 64 и 125, что, конечно, удивило бы самого Баше.

Более того, проходя по кругу эти три задачи и повторяя это до бесконечности, получим бесконечно много пар кубов, удовлетворяющих одному и тому же условию; действительно, после того как мы нашли два куба, сумма которых равна разности данных, мы можем методом задачи 2 найти два других, разность которых равна сумме наших двух кубов, т. е. разности первоначально данных; от разности мы перейдем к сумме и так до бесконечности.

Ad eumdem commentarium.

QUÆSTIO SECUNDA BACHETI: Datis duobus cubis, invenire duos alios, quorum differentia æquet summam datorum.

Canon : Utrumque datorum cuborum ducito ter in latus alterius, productos divide per intervallum cuborum, et minori quotienti adde majus latus, atque a majore quotiente aufer minus latus; summa et residuum exhibebunt quæsitorum latera cuborum.

QUÆSTIO TERTIA BACHETI: Datis duobus cubis, invenire alios duos, quorum differentia æquet datorum differentiam. Oportet autem duplum minoris excedere majorem.

Canon : Productum ex utroque cubo ter in latus alterius divide per summam cuborum: a majore quotiente aufer minus latus, a minore quotiente aufer majus latus, relinquentur latera quæsitorum cuborum.

Huius quæstionis determinationem non esse legitimam simili quâ usi in primâ quæstione sumus operatione aperiemus.

Imo ex supradictis quæstionem quam Bachetus ignoravit, feliciter construemus, datum numerum ex duobus cubis compositum in duos alios cubos dividere, idque infinitis modis per operationum continuatam ut supra monnuimus, iterationem.

Sint duo cubiquibus alij duo æquales inveniendi 8. et 1. primum ex quæstione secunda quærantur duo cubi quorum differentia æquet summam datorum, eruntque 8000/ 343et 4913/ 343Quia duplum minoris excedit maiorem, res deducitur ad tertiam quæstionem, quæ demum reducetur ad primam et constabit propositio, Si velis secundam solutionem rursus quæstio redibit ad secundatm etc.

Ut autem pateat quæstionis tertiæ deterviniationem non esse legitimam. datis duobus cubis 8. et 1. inveniendi alij duo quorum differentia æquet differentiam datorum. Sanè Bachetus impossibilem hanc quæstionem pronuntiaret, cubi tamen duo per nostram methodum inventi sunt sequentes quorum nempe differentia æquatur 7. differentire 8. et 1. Cubi autem illi duo, sunt 2024284625/ 6128487et 1981385216/ 6128487. latera ipsorum 1265/ 183. et 1256/ 183.

Перевод:

Условие, наложенное на задачу 3, незаконно, как мы покажем, действуя так же, как и в случае задачи 1.

Более того, на основании вышеизложенного мы благополучно решим задачу, неизвестную Баше: Данное число, составленное из двух кубов, разложить на два других куба, и это бесконечным числом способов, путем непрерывного повторения операций, как это было указано выше.

Пусть надо найти два куба, сумма которых равна сумме других двух 8 и 1. Сначала на основании задачи 2 найдем два куба, разность которых равна сумме данных; они будут 8000/343 и 4913/343.

Так как удвоенный меньший превосходит больший, то дело сводится к задаче 3, от которой перейдем к задаче 1 и получим решение.

Если мы хотим получить второе решение, то возвращаемся к задаче 2 и т. д.

Чтобы показать, что условие, наложенное на задачу 3, незаконно, возьмем два куба 8 и 1 и найдем два других куба, разность которых равна разности данных.

Баше объявил бы, конечно, что задача невозможна; однако нашим методом найдены два куба, разность которых равна 7, т. е. разности 8 и 1. Эти два куба таковы, 2024284625/6128487 и 1981385216/6128487, а их стороны равны 1265/183 и 1256/183.

Ad commentarium in quæstionem XI Libri IV.

QUÆSTIO DIOPHANTI: Invenire duos cubos suis æquales lateribus.

QUÆSTIO BACHETI: Invenire duos cubos quorum summa ad summam laterum sit in data ratione, dummodo denominator rationis sit quadratus vel triens quadrati.

Eadem addenda huic determinationi quæ in notis sequentis [11]addidimus, et miror Bachetum non quod methodum generalem, quæ sanè est difficilis, non viderit, sed quod saltem non admonuerit lectores hanc quæ ab ipso traditur, non esse generalem.

Перевод:

Это условие должно быть дополнено, как это мы сделали в следующем замечании. Не приходится удивляться, что Баше не увидел общего метода, который действительно труден; но он должен был, по крайней мере, предупредить читателя, что метод, который он дает, не является общим.

Ad quæstionem XII Libri IV.

Invenire duos cubos quorum intervallum æquale sit intervallo laterum ipsorum.

Utrum verò invenire liceat duo quadratoquadrata quorum intervallum æquale sit intervallo laterum ipsorum, de hoc inquiratur et tentetur artificium nostræ methodi, quod haud dublè succedet.