Petri Fermat - Observationes Domini Petri de Fermat

A duobus quibuscumque numeris formari dicitur triangulum rectangulum, quum ex aggregato et ex intervallo quadratorum ab ipsis et ex duplo plani sub ipsis numeris contenti constant latera trianguli.

A tribus numeris in proportione Arithmeticâ possumus formare triangulum, si secundum hanc definitionem sextam formemus illud à medio et differentiâ. Nam solidum sub tribus ductum in differentiam faciet aream dicti trianguli, atque ideo, si differentia sit unitas, solidum sub tribus erit area trianguli.

Перевод:

Nous pouvons former un triangle avec trois nombres en progression arithmétique, en le composant, selon cette définition 6, avec le terme moyen et la différence de deux termes; car le produit des trois termes et de la différence sera égal à l’aire dudit triangle, et, par suite, si la différence est l’unité, l’aire du triangle sera représentée par le produit des trois termes.

Ad quæstionem VIII Diophanti Alexandrini Arithmeticorum Libri II. (p. 85)

Propositum quadratur dividere in duos quadratos.

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Перевод:

Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком малы.

Ad quæstionem X Libri II.

Datum numerum, qui ex duobus componitur quadratis, in alios quadratos partiri.

Num verò numerum ex duobus cubis compositum dividere poterimus in alios duos cubos? Hæc quæstio difficilis sane nec Bacheto aut Vietæ cognita fortasse nec ipsi Diophanto; eius tamen solutionem dedimus infra in notatis [1] Voir ci-après l’observation IX. ad quæstionem secundam lib. 4.

Перевод:

Может ли также и число, являющееся суммой двух кубов, быть разделено на два других куба? Это трудный вопрос, решение которого, конечно, было неизвестно Баше и Виету, а может быть, и самому Диофанту; я решил его дальше, в моих замечаниях к задаче IV 2.

Ad quæstionem X Libri III.

Dato aliquo numero, invenire tres alios, ut compositus ex binis quibuslibet adsumpto dato numero faciat quadratum, sed et summa trium dato numero adjecto faciat quadratum.

Quomodo inveniendi sint 4 numeri ut compositus ex binis quibuslibet adsumpto dato numero conficiat quadratum invenimus ad propositionem 3. libri 5.

Перевод:

Я указал в моем примечании к задаче V 30[в нашем издании V 27— И. Б. ], как найти четыре такие числа, чтобы сумма любых двух из них, увеличенная на заданное число, давала бы квадрат.

Ad quæstionem XI Libri III.

Dato aliquo numero, invenire tres alios, ut compositus ex duobus quibuslibet dempto dato numero faciat quadratum, sed et trium summa detracto dato numero faciat quadratum.

Quæ notavimus ad tertiam libri 5. docebunt quomodo invneniendi sint 4. numeri, quorum bini quilibet sumpti dempto dato numero conficiant quadratum.

Перевод:

Мое примечание к V 31[у нас V 28— И. Б. ] показывает, как можно найти четыре такие числа, чтобы сумма любых двух из них, уменьшенная на заданное число, была бы квадратом.

Ad quæstionem XVII Libri III.

Invenire tres numeros ut productus ex binorum multiplicatione, adsumpta eorumdem summa, quadratum faciat.

Exstat huius quæstionis Diophanti problema [2] Dioph., p. 216: «Invenire tres quadratos, ut quem bini faciunt planum, sive adsciscat amborum summam, sive reliquum, faciat quadratum.» in libro quinto quæstione quinto, Num vero problema sequens ipse Diophantus sciens prætermisit, an potius in aliquo tredecim librorum constructum erat, nescimus.

Invenire 3. quadratos ut productus ex binorum multiplicatione adsumptâ eorumdem summa quadratum faciat. Huius tamen quæstionis infinitas solutiones dare possumus.

En, verbi gratia sequentem solutionem; satisfaciunt nempe problemati tres quadrati sequentes.

3504384/ 2034011. quadratus.

2019241/ 2034012. quadratus.

4 3. quadratus.

Imo et ulterius progredi et Diophantæam quæstionem promovere nihil vetat. Sequens enim problema generaliter et infinitis modis construximus.

Invenire 4 numeros sub quibus binis quod fit planum adscitâ amborum summâ, faciat quadratum.

Inveniantur, per 5. propositionem libr. 5. tres quadrati ut quem bini faciunt planum adsciscens amborum summam faciat quadratum et sunto illi numeri quadrati;

25/ 9 64/ 9 196/ 9

Sunt ergo tres isti quadrati, tres primi numeri nostræ quæstionis, ponatur quartus 1N. fient tria producta una cum summis æqualia.

34/ 9N + 25/ 9primum.

73/ 9N + 64/ 9secundum.

205/ 9N + 196/ 9tertium.

Hæc igitur tria æquanda quadrato, et oritur triplicata æqualitas, cuius explicationem dedimus ad quæstionem 24. libri sexti.

Перевод:

У Диофанта имеется другая задача, V 5, посвященная тому же вопросу. Но неизвестно, опустил ли он, хотя и знал ее, следующую задачу или, что более вероятно, дал ее решение в одной из своих тринадцати книг.

Найти три квадрата таких, чтобы произведение любых двух из них, увеличенное на сумму этих же квадратов, было бы квадратом.

Мы можем дать бесконечно много решений этого вопроса. Вот, например, одно из них: три квадрата удовлетворяют предложенному условию

3504384/ 203401, 2019241/ 203401, 4

Но можно пойти дальше и распространить вопрос Диофанта. Так, мы решили следующую более общую задачу и можем дать бесконечное число ее решений:

Найти четыре числа таких, чтобы произведение любых двух из них, увеличенное на сумму этих же чисел, давало квадрат.

Сначала найдем, согласно V 5, такие три квадрата, что произведение любых двух из них, увеличенное на сумму этих же квадратов, дает квадрат. Пусть это будут, например, три квадрата, найденные Диофантом: