Petri Fermat - Observationes Domini Petri de Fermat

J’estime qu’on ne peut énoncer sur les nombres de théorème qui soit plus beau ou plus général. Je n’ai ni le temps ni la place d’en mettre la démonstration sur cette marge.

Ad propositionem XXVII Bacheti Appendicis de numeris polygonis Libri II.

Unitas primum cubum; duo sequentes impares conjuncti, secundlum cubum; tres sequentes, tertium cubum; quatuor succedentes, quartum; semperque uno plures sequentem deinceps in infinitum cubum aggregati impares constituunt.

Hanc propositionem ita constituo magis universalem. Unitas primam columnam [66]in quacumque polygonorum progressione constituit; duo sequentes numeri mulctati primo triangulo toties sumpto quot sunt anguli polygoni quaternario mulctati, secundam columnam; tres sequentes multati secundo triangulo toties sumpto quot sunt anguli polygoni quaternario mulctati, tertiam columnam, et sic eodem in infinitum progressu.

Перевод:

Voici comment j’énoncerai cette proposition d’une façon plus générale:

Dans toute progression constitutive de polygone, l’unité constitue la première colonne ; la somme des deux nombres suivants, diminuée du premier triangle multiplié par l’excès sur 4 du nombre des angles du polygone, forme la seconde colonne ; la somme des trois nombres suivants, diminuée du second triangle multiplié par l’excès sur 4 du nombre des angles du polygone, forme la troisième colonne ; et ainsi de suite indéfiniment, suivant la même loi.

Ad propositionem XXXI Bacheti Appendicis Libri II.

In hac progressione [ nempe arithmetica, in qua minimus terminus æquatur differentia], productus ex cubo minimi in quadratum trianguli numeri terminoram æquatur aggregato cuborum a singulis.

Hinc sequitur cubum maximi toties sumptum quot sunt numeri terminorum ad aggregatum cuborum habere minorem rationern quam quadruplam.

Перевод:

Il suit de là que le produit du cube du plus grand nombre par le nombre des termes est plus petit que le quadruple de la somme des cubes.

Criticas observationes quas mihi nuper misisti, vir clarissime, sæpius legi non sine voluptate et admiratione; in illis enim ingenij, judicij, et doctrinæ dotes quas in te iampridem suspicimus vbique elucent, nihil autem inuenire possim quod tanti muneris vice tibi referam, nisi commodùm egestati meæ succurrerent variæ lectiones quas vir tibi singulari coniunctus amicitiâ, cuius mihi iucunda semper est recordatio, margini apposuit quorumdam librorum quos sedulò peruoluebat, et quorum pleraque loca, sed ὁδοῦ πάρεργον, emendauit; scis enim quàm præcoci ille ubertate florum amænitatem fructuum maturitati iunxerit, nec me latet quantâ ipse fiduciâ suas exercitationes solitus sit in tuum sinum effundere; licet autem omnes istæ quas excerpsi emendationes, tibi nouitatis gratiâ non commendentur, illas tamen, quæ tua est comitas, te benignâ manu suscepturum non dubito.

Theonem Smyrnæum, ne te diutius morer, vir clarissime, nosti, auctorem operis illius cui titulus τῶν κατὰ μαθηματικὴν χρησίμων εἰς τὴν τοῦ Πλάτωνος ἀνάγνωσιν, quod prodromi instar est aut isagoges Philosophiæ Platonicæ, quæ nemini Geometriâ non initiato patebat, illud opus edidit Lutetiæ anno 1644. Ismael Bullialdus vir doctissimus et Latinitate donatum elegantibus notis illustrauit; sed non omnibus illud mendis purgasse videtur, vt aliquot, ni fallor, exemplis, quæ sequuntur, planum fiet.

Primum occurrit pag. 78 illius operis vbi περὶ ἁρμονίας et συμφωνίας agit, locum illum exscribere non piget, ipsa enim series emendationis procul dubio necessitatem, et veritatem ostendet; τὰ γράμματα, ait ille, φωναὶ πρώται εἰσὶ καὶ στοιχειώδεις καὶ διαιρετοὶ, καὶ ἐλάχισται etc. et inferius, τὰ δὲ διαστήματα ἐκ τῶν φθόγγων, οἵτινες πάλιν φωναὶ εἰσι πρώται καὶ διαιρετικαὶ, καὶ στοιχειώδεις, huic voci διαιρετικαὶ asteriscus in margine respõdet cum voce διαιρεταὶ, at hic reponenda bis videtur vox ἀδιαιρετοὶ loco τοῦ διαιρετοὶ et διαιρετικαὶ, legendum nempe γράμματα φωναὶ εἰσὶ ἀδιαιρετοὶ, idque confirmat Manuel Bryennius, cap. 1, lib. 2 Ἁρμονικῶν, legendum prætereà φθόγγων, ὅιτινες πάλιν φωναὶ εἰσι πρώται καὶ ἀδιαιρετοὶ, et hæc quoque lectio confirmatur verbis eiusdem Bryennii lib. 1. cap. 3. vbi dicit φθόγγος ἐστὶ ἀρχὴ ἁρμονίας ὡς ἡ μονὰς τοῦ ἀριθμοῦ, τὸ σημεῖον τῆς γραμμῆς, καὶ τὸ νῦν τοῦ χρόνου, punctum, vero et instans sunt ἀδιαιρετὰ et consequenter φθόγγος ἀδιαιρετὸς non dividendi vim habens, vt vvlt interpres Latinus nec immerito Bacchius Senior in introductione artis musicæ quæstioni illi τί οὖν ἐστιν ἐλάχιστον τῶν μελῳδουμένων, respondet, φθόγγος, quem non tantum ἐλάχιστον, sed etiam ἄτομον esse docet antiquæ musicæ celeberrimus auctor Aristides Quintilianus lib. 1 de Musicâ, atque ita authoritas æque ac ratio suffragatur huic emendationi, quæ fit vnius tantum litteræ mutatione; minimâ quoque mutatione alia fit eodem capite licet minoris momenti correctio, vbi vulgò male legitur, φησὶ καὶ τοὺς Πυταγορισκοὺς, legendum scilicet, φασὶ, vt apud Bryennium λέγουσι; paulo inferius vbi legitur ἀποτελεῖται ὁ φθόγγος βραδεῖας δὲ βαρὺς, καὶ σφοδρᾶς μὲν μείζων ἦχος, ἠρέμου δὲ μικρὸς, legendum videtur ἠρεμαίας, et Bryennij authoritate confirmatur.

Hactenus de sono de quo agitur in cap. illo 6. in cap. vero 8, agitur de semitonio, et ita vulgo legitur κατὰ καὶ τὸ ἡμίφωνον γράμμα οὐχ ὡς ἥμισυ φωνῆς καλοῦμεν, ἄλλ'ὡς μὴ τῷ αὐτοτελεῖ κατὰ ταυτὸ φωνεῖν, legendum vero videtur καθὸ non κατὰ, legendum præterea ἄλλ΄ ὡς μὴ αὐτοτελῆ καθ' αὑτὸ φωνὴν ἀποτελοῦν, quæ lectio eiusdem Bryennij authoritate nixa veriorem vulgatâ sensum efficit.

Atque harum probatio lectionum desumi potest, ἐκ τῶν παρὰ τοῖς μουσικοῖς ὑποτιθεμένων καὶ ἐκ τῶν παρὰ τοῖς μαθηματικοῖς λαμβανομένων, vt Porphyrii verbis vtar quæ in commentariis clarissimi interpretis referuntur pag. 276, sed non sine mendo, male enim ibi legitur, ἐκ τῶν ὑπὸ τῆς μουσῆς ὑποτιθεμένων.

Nec silentio prætermittenda est elegantissima, et audacter dicam, certissima alterius loci eiusdem Theonis emendatio pagina 164, vbi de octonario loquitur: refertur ibi vetus inscriptio quam in columna Ægyptiaca reperiri tradidit Euander hoc modo, Πρεσβύτατος πάντων Οσιρις θεοῖς ἀθανάτοις πνεύματι καὶ οὐρανῷ ἡλίῳ καὶ σελήνῃ καὶ γῇ καὶ νυκτὶ καὶ πατρὶ τῶν ὄντων καὶ τῶν ἐσομένων ΕΡΩΤΕΙ μνημεῖα τῆς αὐτοῦ ἀρετῆς βίου συντάξεως id est, vt vertit Bullialdus, antiquissimus omnium Rex Osiris diis immortalibus Spiritui, et Cœlo, Soli, et Lunæ, et Terræ, et Nocti, et Diei, et patri eorum quæ sunt quæque futura sunt, prædicabo memoriam magnificentiæ ordinis vitæ eius: mendosum procul dubio in hac inscriptione illud ΕΡΩΤΕ, et hanc lectionem si retineas quis inde sensus elici poterit? legendum igitur ΕΡΩΤΙ, atque ita parvâ vnius scilicet litteræ mutatione huic loco sua lux, et amori sua laus facile restituitur; nec aliena est ab hoc loco sapientissimi Platonis, cuius velut interpres Smyrnæus ille, sententia, dum ait in conuiuio καὶ μὲν δὴ τήν γε τῶν ζώων ποίησιν πάντων τίς ἐναντιώσεται μὴ οὐκὶ ἔρωτος εἶναι σοφίαν ᾖ γίγνεται καὶ φύεται πάντα τὰ ζῶα, etenim animalium omnium effectionem, vt vertit Serranus, ex amoris sapientiâ existere, id est gigni atque nasci, ecquis negauerit,