Борис Бирюков - Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

XIX век был веком кульминации классической математики и, как всегда бывает, именно поэтому был веком зарождения нового взгляда на математическое знание, на его роль в человеческом познании и его связь с другими науками, в том числе с логикой.

К началу нашего столетия математическая логика и «языковая» логика настолько близко подошли друг к другу, что многими учеными стали рассматриваться как два аспекта одной науки. Произошло великое воссоединение разошедшихся когда-то направлений человеческой мысли. Многое теперь было готово для появления кибернетики; однако не было ясного осознания того, что все процедуры рассуждений и вычислений, производимые по четким правилам, формализованные вычислительно-дедуктивные процессы — в определенном смысле (и при определенных ограничениях) эквивалентны и что их изучение разными науками обусловлено лишь историческими и методологическими причинами.

Поколение математиков и логиков, родившихся уже в XX веке, пользуясь созданным к этому времени мощным аналитическим аппаратом, установило довольно четкие границы понятий «вычислимость» и «выводимость». В век дифференциации наук логика стремительно повела широкий комплекс научных дисциплин к синтезу. Оказалось, что нет принципиальной разницы между арифметикой, логикой и механическим моделированием поведения людей и вещей. Оказалось, что все эти средства потенциально одинаково пригодны для моделирования, то есть адекватного (часто, правда, только с тем, или иным приближением) описания и предсказания любого детерминированного процесса.

Вышедшая в это время на научную сцену семиотика позволила взглянуть на программу формализации математики, провозглашенную Гильбертом, не как на идеалистическую утопию, а как на серьезную программу разработки средств знакового моделирования регулярно осуществляемых процедур дискретного рода. Но как раз к этому моменту технические достижения позволили претворить знаковое моделирование в физическое. Только недавно соединившиеся математика и логика объединились теперь с электроникой и, взаимодействуя с науками о жизни и технике, положили начало кибернетике.

«Бумажная» математика, разумеется, от этого не пострадала; совсем наоборот, она получила теперь в свое распоряжение мощные вспомогательные средства. Громадное же прикладное значение кибернетики, скажем точнее — социальное ее значение — сделало таким же громадным и значение математики, которая теперь органично включила в себя логику. Сейчас мы видим уже контуры «супернауки», в которой наименования «математика», «логика», «теория логического вывода», «теоретическая кибернетика», «программирование», «теория систем», «семиотика» и другие становятся названиями отделов и подотделов.

Однако диалектика развития такова, что именно появление кибернетики поставило серьезнейшие проблемы. Иллюзия Лейбница, будто с появлением «механического интеллекта» все станет просто, рассеялась как дым. Диалектический процесс познания нельзя в целом автоматизировать— истина по своей сути не формальна, а содержательна. И чтобы перекинуть мост между формальной доказуемостью и содержательной истинностью, пришлось разработать специальную науку —логическую семантику.

Лейбниц думал — и многие еще недавно склонны были с ним соглашаться, что все, происходящее в реальном мире и сфере абстракций, в принципе может быть описано на формализованном языке, позволяющем сводить решение любых научных или практических вопросов к вычислениям. Теперь мы понимаем, что это не так. Результаты Гёделя накладывают четкие ограничения в возможности подобного подхода. Кроме того, приходится учитывать то, что сами формализованно-детерминистские предписания могут носить различный характер —они могут иметь вероятностную природу и «уживаться» с принятием решений и актами «свободного» (то есть не предопределенного детерминистским предписанием) выбора.

Возник взгляд — его со всей решительностью высказал «отец кибернетики» Н. Винер, что мы живем в «вероятностной вселенной»*. Здесь своеобразную перефразировку получила другая идея того же Лейбница — идея о множественности «возможных миров».

В настоящее время, во всяком случае, бесспорно, что на многие реальные процессы следует смотреть как на формализуемые, детерминируемые, происходящие по четким, однозначно понимаемым правилам именно «в принципе». Но быть формализованным, детерминированным в принципе — это не то же самое, что быть фактически представленным на языке какой-то формальной системы или быть детерминированным конкретным, доступным для выявления и формулировки алгоритмом. Да и сами формализуемость, детерминистичность, регулярность поведения — словом, формальность и алгоритмичность — могут быть разной «силы». Поэтому часто говорят о формализуемости и детерминируемости различной степени и для исследования более слабых их вариантов используют разнообразный «нелогический» математический аппарат — теорию игр, исследование операций, теорию массового обслуживания, теорию статистических решений, математическую теорию планирования эксперимента — аппарат, так или иначе связанный с теоретико-вероятностными представлениями и методами.