Антонио Дуран - Истина в пределе. Анализ бесконечно малых

Здесь есть возможность читать онлайн «Антонио Дуран - Истина в пределе. Анализ бесконечно малых» весь текст электронной книги совершенно бесплатно (целиком полную версию без сокращений). В некоторых случаях можно слушать аудио, скачать через торрент в формате fb2 и присутствует краткое содержание. Город: М., Год выпуска: 2014, ISBN: 2014, Издательство: Де Агостини, Жанр: Математика, sci_popular, на русском языке. Описание произведения, (предисловие) а так же отзывы посетителей доступны на портале библиотеки ЛибКат.

Истина в пределе. Анализ бесконечно малых: краткое содержание, описание и аннотация

Предлагаем к чтению аннотацию, описание, краткое содержание или предисловие (зависит от того, что написал сам автор книги «Истина в пределе. Анализ бесконечно малых»). Если вы не нашли необходимую информацию о книге — напишите в комментариях, мы постараемся отыскать её.

Бесконечно малая величина — это числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Исчисление бесконечно малых — общее понятие для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики. Анализ бесконечно малых — вне всяких сомнений, наиболее мощное и эффективное средство изучения природы, когда-либо созданное учеными. Становление этого понятия связано с именами блистательных математиков: Архимеда, Исаака Ньютона, Готфрида Вильгельма Лейбница, Огюстена Луи Коши и Карла Вейерштрасса. В этой книге идет речь об анализе бесконечно малых и его удивительной истории.

Истина в пределе. Анализ бесконечно малых — читать онлайн бесплатно полную книгу (весь текст) целиком

Ниже представлен текст книги, разбитый по страницам. Система сохранения места последней прочитанной страницы, позволяет с удобством читать онлайн бесплатно книгу «Истина в пределе. Анализ бесконечно малых», без необходимости каждый раз заново искать на чём Вы остановились. Поставьте закладку, и сможете в любой момент перейти на страницу, на которой закончили чтение.

Тёмная тема
Сбросить

Интервал:

Закладка:

Сделать
(f(a+h)-f(a))/h

при h = 0. Этот гордиев узел разрубил французский математик Огюстен Луи Коши (1789—1857), применив понятие предела, которое он сам же и определил более или менее точно и которое затем улучшил немецкий математик Карл Вейерштрасс (1815—1897). Об этом рассказывается в главе 6.

Так как мгновенная скорость, с которой движется тело, является производной, то трудности при делении ноля на ноль препятствовали развитию физики, пока Ньютон не решил эту проблему, создав анализ бесконечно малых. До конца XVII века, когда был сформирован анализ бесконечно малых, ученые могли изучать только простейшие виды движения: равномерное движение, при котором пройденный путь пропорционален затраченному времени, следовательно, скорость постоянна, а ускорение отсутствует, а также равноускоренное движение, при котором пройденный путь пропорционален квадрату времени, скорость пропорциональна времени, а ускорение постоянно. Для изучения последнего вида движения, примером которого является падение тела под действием силы тяжести, потребовался гений Галилея, который понял его суть за несколько десятков лет до того, как с помощью анализа бесконечно малых было найдено тривиальное решение этой задачи.

Проиллюстрируем это на примере. Рассмотрим, как и в прошлых примерах, движущееся тело, которое в момент времени t прошло расстояние в s(t) = √t. Время будем измерять в секундах, расстояние — в метрах. Вычислить среднюю скорость движения тела несложно: например, в период времени с первой по четвертую секунду средняя скорость будет равна отношению пройденного пути и затраченного времени:

средняя скорость = (s(4) – s(1))/(4-1) = (2 – 1)/3 = 1/ 3м/с.

Но что, если нас интересует не средняя скорость, а мгновенная скорость в конкретный момент времени? Чтобы упростить рассуждения, допустим, что мы хотим вычислить мгновенную скорость в тот момент, когда проходит ровно одна секунда от начала движения. Выберем приращение времени h и вычислим среднюю скорость в интервале времени от 1 секунды до (1 + h) секунд:

Чтобы вычислить мгновенную скорость в первую секунду достаточно свести - фото 2

Чтобы вычислить мгновенную скорость в первую секунду, достаточно свести приращение времени h к нулю. Однако в этом случае снова возникает неопределенность:

Это происходит потому что мгновенная скорость соответствует значению - фото 3

Это происходит потому, что мгновенная скорость соответствует значению производной функции пройденного пути s(t) = √t. в момент времени t = 1.

В предыдущей таблице с числами указано, что значение этой производной должно равняться 0,5. Покажем, что это и в самом деле так, устранив неопределенность следующим способом:

Умножим числитель и знаменатель на 1h 1и упростим выражение Если в - фото 4

Умножим числитель и знаменатель на √(1+h) + 1и упростим выражение:

Если в последнем выражении свести приращение времени h к нулю то мы уже не - фото 5

Если в последнем выражении свести приращение времени h к нулю, то мы уже не столкнемся с неопределенностью и делением на ноль. Как и следовало ожидать, при h = 0 значение дроби будет равно 0,5. На языке физики это означает:

мгновенная скорость в момент времени 1 = 1/ 2= 0,5.

Следовательно, мы устранили изначальную неопределенность, которая возникает из-за деления ноля на ноль, и получили, что если тело проходит за t секунд √ t метров, то по прошествии 1 секунды оно будет двигаться со скоростью 1/ 2м/с.

Интегралы

Другим базовым понятием анализа бесконечно малых является понятие интеграла. Интеграл используется для вычисления площади, ограниченной графиком функции.

Например, пусть дана функция f, определенная на интервале между а и b. Значение интеграла

будет равно площади следующей фигуры Символ для обозначения интеграла - фото 6

будет равно площади следующей фигуры:

Символ для обозначения интеграла придумал Лейбниц об этом подробно - фото 7

Символ ∫ для обозначения интеграла придумал Лейбниц (об этом подробно рассказывается в главе 4). Этот символ представляет собой стилизованную букву S — первую букву латинского слова summa («сумма»).

Интеграл применяется не только для вычисления площадей: в математике он также используется для расчета объемов, длин и определения центра тяжести. В физике ему соответствует понятие работы. Работа, которую необходимо совершить,. чтобы переместить тело под действием силы f из точки а в точку b , рассчитывается по формуле:

Читать дальше
Тёмная тема
Сбросить

Интервал:

Закладка:

Сделать

Похожие книги на «Истина в пределе. Анализ бесконечно малых»

Представляем Вашему вниманию похожие книги на «Истина в пределе. Анализ бесконечно малых» списком для выбора. Мы отобрали схожую по названию и смыслу литературу в надежде предоставить читателям больше вариантов отыскать новые, интересные, ещё непрочитанные произведения.


Отзывы о книге «Истина в пределе. Анализ бесконечно малых»

Обсуждение, отзывы о книге «Истина в пределе. Анализ бесконечно малых» и просто собственные мнения читателей. Оставьте ваши комментарии, напишите, что Вы думаете о произведении, его смысле или главных героях. Укажите что конкретно понравилось, а что нет, и почему Вы так считаете.

x