Антонио Дуран - Истина в пределе. Анализ бесконечно малых

Здесь есть возможность читать онлайн «Антонио Дуран - Истина в пределе. Анализ бесконечно малых» весь текст электронной книги совершенно бесплатно (целиком полную версию без сокращений). В некоторых случаях можно слушать аудио, скачать через торрент в формате fb2 и присутствует краткое содержание. Город: М., Год выпуска: 2014, ISBN: 2014, Издательство: Де Агостини, Жанр: Математика, sci_popular, на русском языке. Описание произведения, (предисловие) а так же отзывы посетителей доступны на портале библиотеки ЛибКат.

Истина в пределе. Анализ бесконечно малых: краткое содержание, описание и аннотация

Предлагаем к чтению аннотацию, описание, краткое содержание или предисловие (зависит от того, что написал сам автор книги «Истина в пределе. Анализ бесконечно малых»). Если вы не нашли необходимую информацию о книге — напишите в комментариях, мы постараемся отыскать её.

Бесконечно малая величина — это числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Исчисление бесконечно малых — общее понятие для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики. Анализ бесконечно малых — вне всяких сомнений, наиболее мощное и эффективное средство изучения природы, когда-либо созданное учеными. Становление этого понятия связано с именами блистательных математиков: Архимеда, Исаака Ньютона, Готфрида Вильгельма Лейбница, Огюстена Луи Коши и Карла Вейерштрасса. В этой книге идет речь об анализе бесконечно малых и его удивительной истории.

Истина в пределе. Анализ бесконечно малых — читать онлайн бесплатно полную книгу (весь текст) целиком

Ниже представлен текст книги, разбитый по страницам. Система сохранения места последней прочитанной страницы, позволяет с удобством читать онлайн бесплатно книгу «Истина в пределе. Анализ бесконечно малых», без необходимости каждый раз заново искать на чём Вы остановились. Поставьте закладку, и сможете в любой момент перейти на страницу, на которой закончили чтение.

Тёмная тема
Сбросить

Интервал:

Закладка:

Сделать

Именно бесконечно малые величины являются основным предметом изучения анализа бесконечно малых. Понятие бесконечности придает анализу бесконечно малых удивительную мощь, подчас граничащую с волшебством. Бесконечность — это основа математического анализа, но чтобы осознать, насколько велика ее роль, сначала следует уделить несколько абзацев основным понятиям исчисления.

Как уже говорилось в предисловии, анализ бесконечно малых состоит из двух внешне различных направлений: дифференциального и интегрального исчисления, каждое из которых имеет свои понятия и методы. В дифференциальном исчислении рассматриваются задачи о вычислении угла наклона касательной к кривой и расчета скорости при известном пройденном пути. К интегральному исчислению относятся задачи о вычислении площадей и объемов, а также задачи расчета пройденного пути при известной скорости. Фундаментальным понятием дифференциального и интегрального исчисления является понятие функции.

Функции

Большинство изучаемых нами процессов, будь то природные, экономические или любые другие, можно смоделировать с помощью функций, а затем проанализировать математическими методами. Иными словами, функции — это язык, который используется в науке при изучении всех этих процессов.

Функция — это правило, сопоставляющее одному числу другое. Обычно (но не всегда) это правило выражается с помощью алгебраических операций над числами.

Так, функция может сопоставлять одному числу (обозначим его t) другое число по следующему закону:

(t 2+ 1)/(t 4+ 5)

Так как число t может принимать различные значения, его называют переменной. Как правило, функции обозначаются буквами f, g, h, s или v, переменные — буквами x, у, z или t. Значение, которое функция сопоставляет произвольному числу t, записывается как f(t) . Предыдущий пример будет выглядеть так:

f(t) = (t 2+ 1)/(t 4+ 5)

В частности, когда мы присваиваем переменной t конкретные значения, мы определяем значения функции. Так, при t = 1 получим:

f(1) = (1 2+ 1)/(1 4+ 5) = 2/ 6

при t = 2 имеем:

f(2) = (2 2+ 1)/(2 4+ 5) = 5/ 21

В следующей таблице приведены несколько значений переменной и соответствующих им значений функции:

t …… F(t)
-1 …… 2/ 6
0 …… 1/ 5
√2 …… 3/ 9

Простейшая физическая система — это движущееся тело. Его перемещение можно описать функцией s, которая сопоставляет каждому моменту времени t путь s(t), пройденный телом, или функцией v, которая сопоставляет каждому моменту времени t скорость v(t), с которой движется тело.

Рассмотрим конкретный пример. Если тело по истечении t секунд преодолело путь, точно равный квадратному корню из t метров, функция, описывающая это расстояние, будет выглядеть так: s(t) = √t. Эта функция, определяющая пройденный телом путь, также содержит информацию о том, с какой скоростью перемещается тело. Однако, чтобы получить доступ к этой информации, потребуется применить методы дифференциального исчисления.

Приведем еще один конкретный пример. Пусть дано тело, которое в течение t секунд двигалось со скоростью, равной t 2 м/с. Функция, описывающая скорость движения этого тела, выглядит так: v(t) = t 2. Этот пример похож на предыдущий: функция, описывающая скорость движения тела, также содержит информацию о пройденном пути. Однако, чтобы получить эту информацию, необходимо использовать интегральное исчисление.

Аналогично с помощью функций можно описать совершенно разные явления: изменение курса акций определенного банка или компании на фондовой бирже, плотность каждого участка тела человека (так мы сможем определить без хирургического вмешательства, где находятся кости, мышцы и внутренние органы) или силу, с которой потоки воздуха воздействуют на крылья самолета во время полета.

Чтобы использовать анализ бесконечно малых при решении задач, сначала требуется описать задачу на языке функций.

После того как природные, физические или экономические процессы, которые мы хотим изучить, представлены в виде функций, в дело вступают фундаментальные понятия анализа бесконечно малых. С их помощью можно извлечь из функций интересующую нас информацию.

Производные

Основное понятие дифференциального исчисления — это понятие производной. В действительности это один из краеугольных камней не только математики, но и науки в целом, ведь за ним скрываются такие фундаментальные понятия, как скорость или сила в физике, угол наклона касательной к кривой в геометрии и многие другие.

Читать дальше
Тёмная тема
Сбросить

Интервал:

Закладка:

Сделать

Похожие книги на «Истина в пределе. Анализ бесконечно малых»

Представляем Вашему вниманию похожие книги на «Истина в пределе. Анализ бесконечно малых» списком для выбора. Мы отобрали схожую по названию и смыслу литературу в надежде предоставить читателям больше вариантов отыскать новые, интересные, ещё непрочитанные произведения.


Отзывы о книге «Истина в пределе. Анализ бесконечно малых»

Обсуждение, отзывы о книге «Истина в пределе. Анализ бесконечно малых» и просто собственные мнения читателей. Оставьте ваши комментарии, напишите, что Вы думаете о произведении, его смысле или главных героях. Укажите что конкретно понравилось, а что нет, и почему Вы так считаете.

x