Александр Соловьев - ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА БЕЗ ФОРМУЛ

Оцените математическую красоту фразы:

Любой элемент, принадлежащий множеству, не содержащему ни одного элемента, принадлежит и любому другому множеству, которое не содержит ни одного элемента.

Чуть менее красива фраза:

Любое множество является собственным подмножеством.

Или то же самое, но более жестоко:

Любое множество включено само в себя.

Действительно, группа ух-002 (в которой, вполне возможно, есть студенты) включена в группу ух-002, поскольку все студенты, которые в ней числятся по-прежнему числятся в ней, даже если ее название ух-002 упоминается несколько раз.

Из последнего примера можно сделать важный вывод. Если два множества (возможно на первый взгляд различные, вроде множества чиновников и множества слуг народа) включены друг в друга, то эти множества равны – то есть состоят из одних и тех же элементов.

Можно сказать чуть иначе: Если два множества являются подмножествами друг друга, то они состоят из одних и тех же элементов.

А как же иначе?!…

Правда, есть математики-диссиденты, которые это не признают. Но это скорее уже вопрос веры… другой математической конфессии…

А теперь следует признать, что математики сродни той категории больных людей, которых называют «правдоискателями». Как правило искатели (социальной) правды правы. Но их правота или бессмысленна, или нереальна, а главное, никому кроме них не нужна… Так вот и в теории множеств часто можно найти правду, которая для посторонних людей может выглядеть, мягко выражаясь, странной и вредной.

Например, студент Хведоров не может быть подмножеством студентов университета, поскольку он сам не множество, а элемент. Поэтому он, как элемент, может быть лишь элементом множества студентов университета. А вот группа ух-003, как множество студентов, есть полноправное подмножество множества студентов университета. Но группа ух-003 состоит всего лишь из одного неотчисленного студента. Того самого Хведорова! Вот и получается, что сам Хведоров не может быть подмножеством, но группа, состоящая из него одного, может.

С другой стороны, если вдруг ректор решит рассматривать университет, как множество студенческих групп, то группа ух-003 станет элементом множества студенческих групп университета. Тут ничего страшного, если понимать, что множество студентов университета и множество студенческих групп университета – два разных множества.

Впрочем, нас бюрократическими закорючками не удивишь мы и не такое в жизни видим каждый день…

Но, все-таки, теории множеств есть чем удивить даже нас. Это, так называемые парадоксы теории множеств – одно из потрясений первого года прошлого столетия для узкого круга людей.

Поясним на знаменитом примере про брадобрея.

Правитель (вроде Петра I) повелел единственному брадобрею в своем царстве-государстве брить всех тех и только тех, кто не бреется сам. А наказание за ослушание – казнь. Вот брадобрей и бросился брить всех небритых. В конце-концов дошло до того, что он сам зарос бородой… Он взял бритву. Но если он начнет бриться, значит он бреется сам, а таких он брить не имеет права.

Отложив бритву, он понял, что он сам не бреется. Значит он должен взять бритву и… И что?! А ничего хорошего! Казнят бедолагу за нарушение приказа в любом случае!

С точки зрения теории множеств брадобрей в данном случае не смог определиться с (фундаментальным!) отношением принадлежности: включать или не включать себя самого в множество тех, кто не бреется сам.

То есть в основе теории множеств, которая претендует на роль фундамента ВСЕЙ математики, начальное базовое отношение принадлежности выкидывает такие фортеля, которые просто не позволяют создать некоторые из множеств!… Математики приняли единственное разумное решение: Договорились не создавать в рамках теории множеств такие множества, которые нельзя создать!

То есть теория множеств оперирует со всеми множествами, кроме тех, которые нельзя создать. Все эти множества, об'единенные в одно множество, называются УНИВЕРСУМОМ .

Самое интересное в теории множеств то, что она рассматривает не только конечные множества – множества, содержащие конечное число элементов, но и бесконечные, для которых даже понятие числа бессмысленно. То есть, теория множеств может рассматривать не только множество студентов в группе и множество березок в лесу, но и множество точек на прямой, и множество звезд на небе…